从数学教育的要求和高等代数的特点谈

1从数学教育的要求和高等代数的特点谈对一本《高等代数》教材的改进意见——兼与该书作者商榷幸克坚（遵义师范学院贵州遵义５６３００２）摘要：数学严密的逻辑性和高度的抽象性对思维素质的提高有重要的作用，代数学作为数学的一个重要分支则更为明显。因此，高等代数教学内容的取舍和安排应体现这一特点，应顺序合理、自然流畅。本文针对一本教材中的几个例子，谈了自己的意见。关键词：数学高等代数教材意见中图分类号：O171文献标识码：E文章编号：1009-3583（2003）03-00OpinionsontheImprovementoftheText-book“HighAlgebra”fromtheteachingrequirmentofmathematicsandthechracteristicsofHighAlgebra--wishingtodiscussallthesepointswiththeautherofthisbookXINGKe-jian(DepartentofMathematics,ZunyiNormaiCollege,Zunyi563002,China)Abstract:Accuratelogicofmathematicsanditshighdegree'sofabstrctplaysaveryimportantroleintheimprovementofthoughtcharacter,asanimportantbranchofmathematic,algebra'sfunctionbecomesmoreobvious.Therefore,thetakingorrejectingofthecontentofalgebrawitharrangementshoudshowthischaracteristics,shouldproperlybereasonable,withafree-flowingnature.Thispaperaimstoairtheauther'sownopinionthroughafewexamplesinteachingmaterials.Keywords:Mathematics;algebra;text-books;opinion“数学是自然科学的皇后”、“数学是一种文化”、“一门科学的数学化程度反映了该门科学的成熟程度”……关于数学本质和数学功能的各种不同的认识和理解林林总总，由数学基础的探求所引起的数学的确定性和真理性的争论也方兴未艾。但无论如何评价，数学在各领域广泛应用的有效性和对思维训练的重要性，却越来越引起人们的重视。而在知识爆炸、终身教育观点已为社会广泛接受的的信息时代，加强素质教育，培养创新人才是教育的改革方向，而思维素质的提高应当是素质教育的基本要求。思维能力的培养和提高，不仅是学习各种科学文化知识的重要基础，而且应当成为智育的重要内容。培养善于学习、善于探索、--------------------------收稿日期：2003-05-作者简介：幸克坚（1954--），贵州遵义人，遵义师范学院数学系副教授，从事数学教育和数学史研究勇于质疑、具有开拓和创新意识的现代社会所需要的新型人才是素质教育的直接目标。数学教学与研究中一以贯之的思维训练，在这方面将起到非常重要的作用，却是不争的事实。2高等师范院校数学专业的学生既是未来的数学工作者，更是未来的数学教育工作者，他们自己要成为上述人才，还要由他们去培养出同样的人才。因此，使其在数学专业课程的学习阶段得到数学理性思维的严格训练，是高师数学教育的重要任务。也就是说，他们的学习决不能仅仅限于对现有书本知识——即所谓的“存量知识”的了解和掌握，而更应该在日积月累的学习过程中真正认识到数学的特点——严密的逻辑性、高度的抽象性和广泛的应用性以及数学在人类文化中的地位，潜移默化地形成数学理性思维的习惯，提高其数学特有的思维素养：善于质疑、善于联想、勤于探索和不盲从、不迷信、敢于求异创新和学会“数学地思考”，用数学工作者的思维方式去认识问题、分析问题和解决问题。按照上述要求，高师数学教学应该从教学内容的取舍、教材的体系结构、教师的教学理念及具体的教学措施等方面全方位地思考和实施。就教材而言，对知识介绍的选择和内容安排顺序上要合理，各章节知识应相对完整清晰、自成系统，衔接自然流畅，循序渐进，使学生可接受和易接受，能够激发学习兴趣，起到传授和示范双重作用，启发探索的求知欲。代数学作为数学的最主要分支之一，是以代数结构作为研究对象的一门学科。所谓代数结构，就是指带有一个或多个代数运算并且满足一定运算规则的非空集合。学生从小学到中学十分熟悉的整数、有理数和实数以及定义在这些数集上的加、减、乘、除运算与这些运算具有的运算规则，就是接触最早的代数结构。正是以这样一些“感性”或“直观”概念作为特例，逐步地拓展范围——由单纯的数集扩大到其他集合；逐步地提高抽象层次——从比较具体的“名词性”对象如数、N维向量为元素到比较抽象的“过程性”对象如“线性变换”为元素（如从刚刚定义的以向量为元素的“线性空间”立即进一步提升到以这种“线性空间”中的映射——“线性变换”为元素的“线性空间”……），迅速提高了“运算”和“运算规则”等概念的抽象层次。代数学这种高度抽象的理论与方法无论是对学生的抽象思维能力和综合概括能力等数学综合素质的培养与提高，甚至扩展世界观的视野——从现实的物理空间到抽象的数学空间，应该说较之其它数学分支尤为明显。而作为高师代数学主要内容的“高等代数”，则历来是高等师范院校本专科数学专业的一门重要的基础课，这门课程学习的好坏，直接关系到多门后续课程的学习，同时也对学生的数学素质提高有明显影响。因此，在“高等代数”教学中始终注意贯串上述观点，更好地发挥“高等代数”在形成学生数学思想和数学思维习惯——即提高数学素质方面的作用，更应从教学内容的取舍、教材的体系结构、教师的教学理念及教学的具体措施等方面精心设计和组织实施。近年执教“高等代数”，多半使用北京大学数学系代数与几何教研室代数小组编“高等代数”为教材（以下简称《教材》），当然也参考了不少其它书籍。总的说来，这本书是比3较好的教材，在内容的取舍和体系结构上都比较得当，是国内高校本、专科数学专业高等代数课使用最普遍的教材之一，获得过1987年全国优秀教材奖。但如果按上述要求来审视，也应该说还可以进一步作些改进：1．教学内容安排在逻辑顺序上不够合理与流畅数学严密的逻辑性不但体现在推理的严格之上，还应该体现在知识介绍和引进的顺序上，法国数学家彭加勒说过：“数学证明不是演绎推理的简单排列，它是按某种次序安置演绎推理，这些元素安置的顺序比元素本身还重要，如果我具有这种次序的感觉，也可以说是这种次序的直觉，以便一眼就能觉察到作为一个整体的推理，那么我就无需害怕我忘记这些元素之一，因为它们之中每一个都在排列中得到它的指定位置，而且不要我本人费心记忆”⑴，说明内容安排的次序对于理解和记忆的重要性。这就要求教学内容的安排有合理的逻辑顺序，知识点的衔接要自然流畅、循序渐进、有连贯性、易于理解和记忆、具有示范、诱导和启发的作用。这样才会提高学生学习的兴趣并留下思维和联想的空间，达到较佳效果。要保证教学内容的流畅性，对教材内容就应该进行很好的组织。虽然总的说来，这本书在内容的取舍和体系结构上都比较得当，但在一些局部，也存在一些不大合理或流畅的安排，如：1．1在行列式性质的证明时不宜引入代数余子式行列式的性质是其计算的重要工具，需要学生能够熟记以便于运用。行列式性质的证明虽不难，但介绍它之前只介绍了“排列”和“行列式定义”两个知识点。所以，从知识的逻辑顺序关系来讲，行列式性质的证明应以上述两点知识为基础来展开。这样做既充分体现了数学学科最典型的特征——知识的引入和定理的证明均有严密的逻辑顺序关系；又可让学生在学习过程中随时感受到这种逻辑关系，从而逐步形成“学过的就要用、学过的才能用”的认识和推理上“步步有基础、步步有依据”的思维习惯，便于让学生理解证明的思路和记忆这几条性质。因此，多数“高等代数”教材都是以排列的性质和行列式的定义为出发点来介绍并证明行列式性质，这既不涉及其它知识，不会加重学生理解的负担，又在知识点的介绍和引入上显得自然流畅，体现了“紧紧依靠前一步的知识解决后一步的问题”的知识链，逻辑上既自然又严密，证明过程中因果层次清晰，学生也容易理解和记忆。但《教材》却是如下安排的⑵：首先是利用排列的性质证明了“行列式与其转置行列式相等”。这当然是合理的，但接下来证明其它性质之前却突然引入了一个记号“Aij”：“……因之，n级行列式的n！项可以分为n组，第一组的项都含有ai1，第二组的项都含有ai2等等，再分别把第i行的元素提出来，就有4nnnjninijinjaaaaaaaaa111111＝ai1Ai1+ai2Ai2+……+ainAin其中，Ａij是代表那些含有aij的项在提出公因子aij之后的代数和。至于Ａij究竟是哪一些项的和我们暂且不管，到§６再讨论……”然后，以此为出发点来证明：性质２)：行列式一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就等于用这个数乘行列式；如果行列式中有一行为０，那么行列式为０；性质３)：如果行列式中某一行是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和……接下来，不得不“再根据排列的性质”，证明：性质４)：如果行列式中有两行相同，那么行列式等于０；最后，才“由这三个性质我们不难推得行列式其它一些性质”。综观这一节的全过程，笔者觉得有以下不妥之处：１)、在数学学习中，定义概念之后证明相关的性质（或定理），是顺理成章的程序。而上述那种放着刚介绍过的排列性质和行列式的定义不用的做法，会使学生感受到“介绍了却没用”，形成知识的脱节；2)、不难看出，引入Ａij并利用它来证明的三条性质，完全可以只依靠行列式的定义来证明，根本没有引入Ａij必要；3)、突然引入Ａij，但又无法说明或在这时候不便说明其真正的来历和含义——代数余子式，形成不但是“Ａij究竟是哪一些项的和我们暂且不管”，而且连这种“代数和”是怎么样的构成以及符号怎么确定，都无法让学生清楚。对学生头脑里刚学的知识起到了不利的“打岔”作用，不利于接受新知识的条理性和逻辑性，加重了学生理解和记忆新知识的负担；4)、引入Ａij并用来证明上述性质并不比直接用排列的性质和行列式的定义来证明更有力或更清晰，体现不出任何长处。并且，只用它又不能完全解决问题，在它的之前之后还不得不用上排列的性质。那就是说，突然引入这么一个令人费解的Ａij，所起到的作用无非是在行列式性质的部分证明中本可用行列式定义而不用，这种作用不能算是正面的，只是一种副作用。5如上所述，笔者认为，这一节这种安排欠妥。1．2“线性方程组”一章不应过多介绍向量和矩阵的知识“高等代数”的主要内容是线性代数，而线性代数中“线性方程组”、“矩阵”、“线性空间”几章既是重要的基础，又相互密切联系——因为向量的线性相关性理论需要方程组的知识点；方程组的有解判别会用到矩阵的秩的知识点、“解的结构”会用到线性空间的知识点；而矩阵理论又依赖于向量的线性相关性理论。必须解决好这一问题，使得课授内容知识点的出现与衔接自然流畅，易于理解和易于记忆。笔者认为，鉴于上述知识点的相依关系，应该将线性方程组的基本理论部分——即线性方程组的概念、消元法、有解判别和齐次线性方程非零解的讨论作为“线性方程组”一章先讲。这样，线性方程组的基本知识部分大体完备，并且具备了这些知识后，讲述或理解“矩阵的秩”和“向量的线性关系”就比较自然；然后分别完整地讲“矩阵”和“线性空间”这两章。在讲完矩阵之后，作为用矩阵理论回顾“线性方程组”，很自然地形成“有解判别定理”；在讲完“线性空间”之后，很轻松地用“子空间”概念讲述“线性方程组解的结构”——即“解空间”。这既保证了上述三章内容各自的相对独立性和完整性，又使教学内容自然流畅且前后呼应，便于学生理解。但《教材》在处理这一部分内容时，内容编排即体系结构上有点混乱