信号系统第四章总结

信号与系统1/10第四章:傅立叶变换和系统的频域一、信号分解为正交函数（一）、完备正交函数1正交函数：实正交函数：设φ1(t)φ2(t)是定义在（t1,t2）内的两个实函数，若∫φ1(𝐭),𝐭2𝐭1φ2(t)dt=0，则称是函数的正交条件。若∫φ1(𝐭),𝐭2𝐭1φ2*dt=∫φ1*(𝐭),𝐭2𝐭1φ2dt=0满足实函数的正交条件，则称φ1(t)φ2(t)在（t1,t2）内正交。复函数正交：：设φ1(t)φ2(t)是定义在（t1,t2）内的两个复函数，若，则称是复函数的共轭条件。则称φ1(t)φ2(t)在（t1,t2）内正交。2、正交函数集若n个实函数{φi（t）}（i=1,2,3,…….）在区间（t1,t2）内满足实函数正交条件∫φi(𝐭),𝐭2𝐭1φj(t)dt={0,i≠jKi,i=j，则{φi（t）}（i=1,2,3,…….）在（t1,t2）内是正交实函数。复正交函数集：若n个复函数{φi（t）}（i=1,2,3,…….）在区间（t1,t2）内满足复函数正交条件∫φi(𝐭),𝐭2𝐭1φj*(t)dt={0,i≠jKi,i=j，则{φi（t）}（i=1,2,3,…….）在（t1,t2）内是复正交函数集。3、完备正交函数集：若正交函数集{φi（t）}（i=1,2,3,…….）之外不存在gt（t）与φi(𝐭)正交，则{φi（t）}（i=1,2,3,…….）是完备正交函数集。4、完备正交函数集举例：ａ、三角函数集b、复指数函数集c、沃尔什函数（二）信号正交分解𝑓(𝑡)C1φ1（t）+C2φ2（t）+……..+Cnφn（t）=∑Cjnj=1φj(t),求系数Cj1、求误差的均方值最小：2=Cj1𝐭1−𝐭2∫f(t)−∑Cjnj=1φj(t)𝐭2𝐭1信号与系统2/10二、三角傅里叶级数（周期信号在一个周期内展开）1、满足狄利克雷条件𝑓(𝑡)=𝑎02+∑(𝑎𝑛cos𝑛Ω𝑡+𝑏𝑛sin𝑛Ω𝑡)∞𝑛=1𝑎02=1T∫𝑓(𝑡)dt=𝑓(𝑡)π2−π2（𝑓(𝑡)在一个周期内方均值；直流分量）𝑎𝑛=2T∫𝑓(𝑡)cos𝑛Ω𝑡dt,n=0,1,2,…T2−T2𝑏𝑛=2T∫𝑓(𝑡)sin𝑛Ω𝑡dt,n=0,1,2,…T2−T22、三角傅里叶级数第二种表示方法：3、𝑓(𝑡)=𝐴02+∑(𝐴𝑛cos(𝑛Ω𝑡+𝜑𝑛)∞𝑛=1𝐴𝑛=√𝑎𝑛2+𝑏𝑛2（A0=a0）𝜑𝑛=tan−1𝑏𝑛𝑎𝑛𝐴02直流分量；(𝐴𝑛cos(𝑛Ω𝑡+𝜑𝑛)n次谐波分量三角傅里叶级数的特点：𝐴𝑛和𝑎𝑛是𝑛Ω的偶函数；𝑏𝑛和𝜑𝑛是𝑛Ω的奇函数。书上121页例题4.2-1及总结见笔记！（二）指数傅里叶级数1、𝑓(𝑡)=∑FnejnΩt∞−∞2、指数形式与三角形式傅里叶级数关系：详见书128页（三）函数奇偶性及其傅里叶级数特点1、奇函数与偶函数𝑓(𝑡)=𝑓(−𝑡)偶函数，记为𝑓e(𝑡)𝑓(𝑡)=−𝑓(−𝑡)奇函数，记为𝑓𝑜(𝑡)𝑓(𝑡)=𝑓e(𝑡)+𝑓𝑜(𝑡)见笔记例题2，及奇函数偶函数的傅里叶关系2、奇谐函数：𝑓(𝑡)=−𝑓(𝑡±𝑇2)，只含奇次谐波分量3、偶谐函数：𝑓(𝑡)=𝑓(𝑡±𝑇2)，只含偶次谐波分量4、横坐标的平移对傅里叶级数的影响：改变傅里叶级数中直流分量对各次谐波的振幅、相位无影响。见例3.三、周期信号频谱信号与系统3/10（一）振幅频谱与相位频谱傅里叶级数的两种形式：a、𝑓(𝑡)=𝑎02+∑(𝑎𝑛cos𝑛Ω𝑡+𝑏𝑛sin𝑛Ω𝑡)∞𝑛=1b、𝑓(𝑡)=∑FnejnΩt∞−∞1、振幅频率：a、以𝐴𝑛为纵坐标以𝑛Ω为横坐标画出各次谐波振幅相对大小的线图，n=0单边谱。b、以Fn为纵坐标以𝑛Ω为横坐标画出各次谐波振幅相对大小的线图，n=0，±1，,±2，……双边谱2、包络线：定义3、相位频谱：定义（二）周期性矩形脉冲的频谱：详见笔记分析过程小结：a、离散性、谐波性、收敛性b、𝛕不变𝐓增大一倍幅度减小一倍；𝛀减小一倍谱线变密一倍，当𝐓趋近于∞离散谱趋近于c、T不变𝛕减小一倍𝛀不变谱线间距不变d、频带宽度：𝑛Ω=0~2πτ（三）周期信号是功率信号-----帕斯瓦尔等式P=1T∫𝑓2(𝑡)dt=1T∫𝐴02+∑([𝐴𝑛cos(𝑛Ω𝑡+𝜑𝑛)∞𝑛=1]2dt=∑Fn2∞−∞T2−T2T2−T2复习笔记例5、例6及习题4.11四、非周期信号频谱-----傅里叶变换（一）傅里叶变换FT1、FTF（jω）=∫𝑓(𝑡)e−jωt∞−∞dt=ℱ(𝑓(𝑡))2、FT1𝑓(𝑡)=∑FnejnΩt∞−∞=12π∫𝐅（𝐣ω）ejωtdω∞−∞4、关于傅里叶变换的讨论：A、与傅里叶级数的比较B、FT1的含义C、FT的三角形式𝑓(𝑡)=𝐴02+∑(𝐴𝑛cos(𝑛Ω𝑡+𝜑𝑛)∞𝑛=1=1π∫F（ω）cos（ωt+φ(ω)）dω∞0信号与系统4/10小结：非周期性信号可分解为许多不同频率的余弦函数分量，不同的是非周期信号包含0---∞内一切频率，各分量振幅F（ω）πdω为无限小5、FT充分条件：∫∕𝑓(𝑡)∕∞−∞dt∞6、F（0）的意义：𝑓(𝑡)曲线的面积。（二）常用信号的FT1、门函数𝓰τ（t）↔G（jω）=τSa（ωτ2）图形见书135页2、单边指数函数𝑓(𝑡)=e−αtε(t)(α0)↔F（jω）=1α+jω图形见书136页3、冲击函数δ（t）↔14、阶跃函数ε(t)↔πδ(ω)+1jω五𝐅𝐓的性质1、线性特性若𝑓1(𝑡)↔𝐅1（𝐣ω）；𝑓2(𝑡)↔𝐅2（𝐣ω）则a𝑓1(𝑡)+b𝑓2(𝑡)↔a𝐅1(𝐣ω)+𝐛𝐅2（𝐣ω）2、A、奇偶性、虚实性F（jω）=∫𝑓(𝑡)e−jωt∞−∞dt=R(ω)+jX(ω)=∕𝐅（𝐣ω）∕ejφ(ω)R(ω)是ω的实偶函数；X(ω)是ω的奇函数B、幅频特性∕𝐅（𝐣ω）∕=√X(ω)2+R(ω)2；φ(ω)=tan−1X(ω)R(ω)是ω的奇函数。3、尺度变换若𝑓(𝑡)↔𝐅（𝐣ω）则𝑓(𝛼𝑡)↔1∕α∕𝐅（𝐣𝛚𝛂）用该性质证明sgn(t)↔2jω4、对称性若𝑓(𝑡)↔𝐅（𝐣ω）则𝐅（𝐣t）↔2π𝑓(−𝜔);若𝒇(𝒕)是偶函数则𝐅（𝐣𝐭）↔𝟐𝛑𝒇(𝝎)。用该性质证明Sa（t）=𝐬𝐢𝐧𝐭𝐭↔π𝔤t(ω)5、时移性（延时性）若𝑓(𝑡)↔𝐅（𝐣ω）则𝑓(𝑡±𝐭0)↔𝐅（𝐣ω）𝐞±𝐣𝛚𝐭0证明gt↔1jω(𝐞𝐣𝛚𝛕𝟐−𝐞−𝐣𝛚𝛕𝟐)化简得τSa（ωτ2）注：两种方法：先延时后尺度变换（较简单）；先尺度变换后延时。信号与系统5/106、频移性（调制特性）若𝑓(𝑡)↔𝐅（𝐣ω）则𝑓(𝑡)𝐞±𝐣𝛚0𝐭↔𝐅（𝐣（ω∓𝛚0））7、卷积定理A、时域卷积定理𝑓1(𝑡)∗𝑓2(𝑡)↔𝐅1(𝐣ω)𝐅2（𝐣ω）B、频域卷积定理𝑓1(𝑡)𝑓2(𝑡)↔12π𝐅1(𝐣ω)∗𝐅2（𝐣ω）8、时域的微分积分性质A、时域微分若𝑓(𝑡)↔𝐅(𝐣ω)，ddt𝑓(𝑡)的傅里叶变换存在，则ddt𝑓(𝑡)↔jω𝐅(𝐣ω)B、时域积分若𝑓(𝑡)↔𝐅(𝐣ω)且𝑓(∞)=𝑓(−∞)=0，则𝑓1(𝑡)↔πF(0)δ(ω)+1jω𝐅(𝐣ω)9、频域的微分积分性质A、频域微分-jt𝑓(𝑡)↔ddω𝐅(𝐣ω)(-jt)n𝑓(𝑡)↔dndωn𝐅(𝐣ω)B、频域积分π𝑓(0)δ(ω)+1−jω𝑓(𝑡)↔∫F(jx)dx∞−∞10、相关定理𝑓1(𝑡)↔𝐅1(𝐣ω)，𝑓2(𝑡)↔𝐅2(𝐣ω)互相关函数：R12（τ）↔𝐅1(𝐣ω)𝐅*2(𝐣ω)R21（τ）↔𝐅*1(𝐣ω)𝐅2(𝐣ω)对于自相关函数R（τ）↔F1(jω)F*1(jω)=∕F（jω）∕2六、能量谱和功率谱（一）能量信号与能量谱1、时域：E=∫∕𝑓(𝑡)∕2∞−∞dt=12π∫∕𝐅(𝐣ω)∕2∞−∞dω2、能量谱：定义信号与系统6/10E=∫𝜀(𝑡)∞−∞d𝑓=12π∫𝜀(ω)∞−∞dω⇒𝜀(ω)=∕F（jω）∕2↔R（τ）（二）功率信号和功率谱1、时域功率：P=limT→∞1T∫∕𝑓(𝑡)∕2V2−V2dt2、能量有限、功率有限信号：定义3、功率有限密度函数P（ω）P=12π∫F(ω)dω=∞−∞limT→∞12π∫limT→∞𝐅2（ω）𝑇T2−T2dω4、功率密度函数与自相关函数F[R（τ）]=limT→∞1T𝑓(τ)∗𝑓(−τ)=limT→∞1T⁄𝐅(𝐣ω)2⁄=P（ω）书上165例4.6-1自学七、周期信号的傅里叶变换由非周期信号的傅里叶变换拓展到周期信号的傅里叶变换,将信号分析的方法统一起来。（一）、正，余弦的傅里叶变换F)][cos(0t=F)](21[00tjtjee=)]()([00F)][sin(0t=F)](21[00tjtjeej=)]()([00j(二)、一般周期函数的傅里叶变换ntjnnTeFtf)(其中T2是基波角频率,nF是傅里叶系数。FnnTnFtf)(2)]([例:F1)]([tF)()]([tT信号与系统7/10(三)、傅里叶系数与傅里叶变换周期信号)(tfT的傅里叶系数nF信号频谱)(jF的关系为：nnjFTF)(14.8LTI系统的频域分析研究系统的激励与响应在频域中的关系（一）、频率响应时域中零状态响应为：)(*)()(tfthty其中)(th为时域LTI系统冲激响应由时域卷积定理得：)()()(jFjHjY其中)(jH为频率响应函数)()()(jFjYdefjH)()()(jejHjH时域分析是在时间域内进行，可以直观地得到系统响应的波形。频域分析是在频率域内进行，便于对信号进行分析和处理。要求时域的零状态响应，可以先求其频域下的响应（时域卷积化为频域相乘），再转换成时域。应用：便于求解频率响应（微分方程）。幅频特性：)(jH的偶函数相频特性：)(的奇函数（二）、无失真传输无失真传输是指系统的输出信号与输入信号波形上没有变化，只是幅度和出现时间先后不同。数学表达式为：时域)()(dttKfty频域)()(jFKejYdtj可得：为使信号传输无失真，系统的频率响应函数应为：dtjKejH)(幅频特性：KjH)(全部频带内，系统的幅频特性为一常数相频特性：dt)(相频特性为通过原点的直线（三）、理想低通滤波器的响应信号与系统8/10理想低通滤波器：频率低于角频率c的信号可以无失真地传送，阻止角频率高于c的信号通过。其中c为截止频率。信号能通过的频率范围为通带，阻止信号通过的频率范围为阻带或止带。理想低通滤波器频率响应：cctjdejH,0,)(1)(jHdt)(也可写作)()(2cdgejHtj冲激响应))(()()(2dcctjttSathgecd阶跃响应)]([121)(dcttSitg理想低通滤波器冲激响应、阶跃响应都是非因果的。t0时有输出。物理不可实现。对频域特性，物理可实现系统的幅频特性满足：佩利-维纳准则：djH2)(djH21)(ln4.9取样定理在一定条件下，一个连续时间信号可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值（样本值）表示。样本值包含了该连续时间信号的全部信息，利用