随机信号分析基础第二章习题

第二章随机信号概论本章要点：1、随机过程的概念可理解为依赖于时间t的一族随机变量或随机试验得到的一族时间t的函数。2、随机过程的概率分布nnnXnnXxxxtttxxxFtttxxxp...),...,,;,...,,(),...,,;,...,,(212121221213、随机过程的数字特征数学期望dxtxpxtXEtmXX);()]([)(均方值dxtxpxtXEtXX);()]([)(222方差])}()([{)]([)(22tmtXEtXDtX自相关函数)]()([),(2121tXtXEttRX协方差函数)}]()()}{()([{),(221121tmtXtmtXEttCXXX随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数)]()([),(2121tYtXEttRXY互协方差函数)}]()()}{()([{),(221121tmtYtmtXEttCYXXY两随机过程X(t)和Y(t)之间的统计独立、不相关和正交概念随机过程的特征函数4、随机序列及其统计特性重点及要求：会计算随机信号的概率分布及各种数字特征;对两随机过程X(t)和Y(t)之间的统计独立、不相关和正交概念有明确认识;解:(1)由于随机过程X(t)的样本具有确定的函数形式（为常数1，2，3），所以该随机过程是确定性随机过程。(2)显然，任意时刻对应的随机变量是离散随机变量，且具有相同的分布，所以概率密度为：(,)0.6(1)0.3(2)0.1(3)pxtxxx2.22.6所以：113[(2)](346);33EX114[(6)](572);33EX155[(2)(6)](354762);33EXX解:由图可得下表ξ1ξ2ξ3X(2)346X(6)572出现一个典型的错误：182[(2)(6)][(2)][(6)];9EXXEXEX由定义可知：(,2)(,2);XFxPXx显然在2这一时刻的可能取值为3，4，6；可得：0,31,343(,2)2,4631,6xxPXxxx同理可得：0,21,253(;6)(,6)2,5731,7XxxFxPXxxx问题(;2)(2)XFxPXx346；；；2313113324316xxx；；；01(;2)(2)()3xXFxPXxpxdxx121212(,;2,6){(2),(6)};{((2)(6)};XFxxPXxXxPXxXx用表格来表示所求的联合分布：12/31/302/31/31/301/300000002x1x13x134x146x16x22x225x257x27x问题12/31/302/34/92/901/32/91/9000002x1x13x134x146x16x22x225x257x27x0,31,343(,2)2,4631,6xxPXxxx0,21,253(,6)2,5731,7xxPXxxx2.7解：(1)由题意可知1231()()();3ppp所以112233[()]()(,)()(,)()(,)1(1sincos)3EXtpXtpXtpXttt（2）解：由定义可知：1212(,)[()()];XRttEXtXt由题知：111231sint2sint2cost1cost1()Xt2()Xt所以：1212(,)[()()];XRttEXtXt12121(1sinsincoscos);3tttt2.8解：由定义出发：[()][()()];EYtEXtft[()][()];EXtEft()()Xmtft由协方差的定义：121122(,){[()()][()()]}YYYCttEYtmtYtmt11112222{[()()()()][()()()()]}XXEXtftmtftXtftmtft1122{[()()][()()]}XXEXtmtXtmt12(,)XCtt2.9解：（1）直接由定义可得：00[()][cos()sin()]EXtEAtBt00[]cos()[]sin()EAtEBt0（2）由自相关函数的定义：121201010202(,)[()()]{[cossin][cossin]}XRttEXtXtEAtBtAtBt2201020102[coscossinsin]EAttBtt201010102[coscossinsin]tttt2012cos,tt其中2.10解：由均值的定义：22000[()]cos()()cos()2oaEXtatpdtd0由定义先求出均方值，就可以得到方差：2220[()][cos()]EXtEat201cos(22)[]2tEa22200cos(22)22aatd22a所以：222[()][()][()]2aDXtEXtEXt121220102(,)[()()][cos()cos()]XRttEXtXtEatt20120102[cos(())cos(2)]2aEtttt2012212cos[()]02cos2attatt其中2.11解：0[()][cos()]EXtEAt0[][cos()]EAEt120001cos()2adatd02120102(,)[cos()cos()]XRttEAtt201020[][cos()cos()]1cos6EAEtt2.12证明：()[()]dXtEXtdt0()()[()]limtXttXtEXtt0[()()][()()]limtEXtXttEXtXtt(,)XdRttdt证毕。0(,)(,)limXXtRtttRttt