傅里叶变换在滤波技术中的应用3

铜陵学院课程论文论文题目：傅里叶变换在信号处理中的运用铜陵学院2013年6月22傅里叶变换在滤波技术中的应用1.1滤波的概念利用电路容抗或感抗随频率变化的特性，对不同频率的输入信号产生不同的响应，让需要的某一频率的信号顺利的通过，而抑制不需要的其他频率信号，这一过程即为滤波，实现该过程的系统称为滤波器。设滤波器的输入x(t)，输出y(t)，则有滤波器系统的输入关系如下：x(t)?h(t)=y(t)(5)由时域卷积定理知，式5可转换为X(ω)H(ω)=Y(ω)CFTCFTCFT其中：x(t)???X(ω)，y(t)???Y(ω)，h(t)???H(ω)→→→(6)由式6知，借助傅里叶变换不仅使运算得到简化，而且为从频域上对信号进行研究，进行频谱分析提供了可能。又由式6知H(ω)=Y(ω)/X(ω)(7)其中H(ω)称为系统函数，可完全表征系统的性质和特征。因此，若已知输入x(t)及要求的输出y(t)，对其分别进行傅里叶变换后，便可根据需要设计出适当的滤波系统，从而满足适当地满足实际需要。1.2理想选择性滤波器理想选择滤波的频率特性,具有对某个频率范围内的复指数信号ejωt或正弦信号cos(ωt)能无失真地通过，在频率范围之外则给予彻底抑制。通常把信号能通过的频率范围称为滤波器的通带，阻止信号通过的频率范围称为阻带，通带的边界频率称为截止频率。根据滤波器通、阻带所处的位置不同，可分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等基本滤波器，它们是信号和系统分析中重要的基本系统。41、理想低通滤波器理想低通滤波器是指能使某频率范围内的信号无失真的通过，而高于一定频率值的信号完全抑制的滤波器，其系统函数HL(ω)为1，HL(ω)=0，ωω0(8)ωω0其中，ω0是理想低通滤波器的截止频率。频谱如图1所示。图1理想低通滤波器的频谱2、理想高通滤波器理想高通滤波器与理想低通滤波器相对应，是指使高于某个频率值的信号无失真的通过而低于该频率的信号则完全抑制，其系统函数HH(ω)为1，ωω0HH(ω)=0，ωω0其中，ω0是理想高通滤波器的截止频率。频谱如图2所示。(9)图2理想高通滤波器频谱图3、理想带通滤波器理想带通滤波器是一个允许特定频段的信号波通过同时屏蔽其他频段的滤波器，其系统函数HB(ω)为51，ω1ωω2HB(ω)=0，ωω2或ωω1其中,ω1称带通滤波器的低通截止频率,ω2称带通滤波器的高通截止频率。频率响应如图3。（10）图3理想带通滤波器频谱图4、理想带阻滤波器、理想带阻滤波器与理想带通滤波器相对应是指衰减或抑制某一频率范围内的信号,而允许此频率范围以外的频率的信号通过的滤波器，其系统函数HB(ω)为0，ω1ωω2HB(ω)=（11）1，ωω2或ωω1频率响应如图4示。图4理想带阻滤波器频谱图3.3系统的物理可实现性为了简单，理想滤波器通常都定义成频域上具有实的和单位幅度的频率响应，且有零相位特性。实际上，上述所有理想滤波器的频率响应再乘e?jωt0，仍6能让处于通带内的信号无失真地通过，并完全抑制通带外的信号。根据傅里叶变换的时移性质，乘线性相移因子e?jωt0，只是使信号产生一个时间滞后t0，它们仍然是理想滤波器。为了和上述的零相位理想滤波器相区别，也可把具有线性相位理想滤波器。但是实际上，没有真正意义的理想滤波器。实际的滤波器无法完全过滤掉所设计的允许通过的频率范围之外的频率的波。例如，在理想通带边界有一部分频率衰减的区域，不能完全过滤，这一曲线被称作滚降斜率(roll-off)。滚降斜率通常用dB度量来表示频率的衰减程度。一般情况下，滤波器的设计就是使这过渡带尽可能的窄，以便该滤波器能最大限度接近理想通带的设计。就时域特性而言，一个物理可实现系统必须是因果的即它的单位冲激响应h(t)在t0时必须为零。从频域特性来看，如果H(ω)满足平方可积的条件，即∞?∞∫H(ω)dω∞2（12）图5实际带通滤波器幅度特性4.傅里叶变换在调制与解调技术中的应用在许多工程问题中，调制与解调的概念起着十分重要的作用，并有广泛的应用。所谓调制就是用一个信号去控制另一个信号的某个参量，产生已调制信号，其实质是把各种信号的频谱搬移，使它们互不重叠地占据不同的频率范围。在几乎所有实际通信系统中，信号从发送端到接收端，为实现有效、可靠和远距离的信号传输，都需要调制和解调。比如无线通信。调制过程将信号频谱搬移到任何7所需的较高频率范围，这就容易以电磁波形式辐射出去。调制的目的是把要传输的模拟信号或数字信号变换成适合信道传输的信号，这就意味着把基带信号（信源）转变为一个相对基带频率而言频率非常高的代通信号。该信号称为已调信号，而基带信号称为调制信号。调制可以通过使高频载波随信号幅度的变化而改变载波的幅度、相位或者频率来实现。调制过程用于通信系统的发端。在接收端需将已调信号还原成要传输的原始信号，也就是将基带信号从载波中提取出来以便预定的接受者（信宿）处理和理解的过程。该过程称为解调。从另一方面讲，如果不进行调制而是把被传送的信号直接辐射出去，那么各电台所发出的信号频率就会相同，它们混在一起，收信者将无法选择所要接受的信号。解调则是相反的过程，即从已调制信号中恢复出原信号，实质是把各种信号的频谱搬移，使它们互不重叠地占据不同的频率范围，也即信号分别依附于不同频率的载波上，接收机就可以分离出所需要频率的信号，不致互相干扰。2.1调制与解调的原理在无线电技术中，将一个称为载波的高频电振荡（电流、电压）的参数（振幅、频率、相位）按照欲传输的信号的特征变化的过程称为调制。低频信号（指欲传输的信号）辐射效率低，不能直接用于发射，调制的目是借助于高频电振荡将低频信号连带传送出去。不同的低频信号可以附载在不同频率的高频电振荡上同时传送，这样就可以充分利用无线电频谱同时传输许多路广播信号，而且它们之间不会相互干扰。根据高频载波的振幅、频率或相位随低频信号变化的特点，调制相应地分为调幅、调频或调相。此外，如果先用信号去调制脉冲序列的参数（脉冲幅度、脉冲宽度或脉冲位置等），再用这组经过调制的脉冲序列去调制一个高频正弦波载波，这种调制方式称为脉冲调制。解调是调制的反过程，指将已调信号恢复为原始信号的过程。目前使用的解调方法有相干解调和非相干解调。这些方法能有效地解调出调制信号的全部特征（幅度、频率、初相位）。2.2正弦调制过程载波信号为cos(ω0t),它的傅里叶变换是F[cos(ω0t)]=π[σ(ω+ω0)+σ(ω?ω0)](13)调制信号为g(t)，其频谱为G(ω),占据-ω0至ω0的有限频带，将g(t)与cos(ω0t)进行时域相乘便可得到已调信号f(t),如式（14）示：f(t)=g(t)cos(ω0t)(14)对上式进行傅里叶变换并由傅里叶变换的时域卷积性质得：F[f(t)]=F(ω)=(1/2π)G(ω)*π[σ(ω+ω0)+σ(ω?ω0)]=1/2[G(ω+ω0)+G(ω?ω0)](15)由此，信号g(t)的频谱G(ω)被搬移到ω0附近，实现了频谱的搬移。频谱搬移过程实现过程如图6示：图6调制原理方框及其频谱92.3相干解调设cos(ω0t)信号是接收端的本地载波信号，它与发送端的载波同频同相。f(t)与cos(ω0t)相乘的结果使频谱F(ω)向左、右分别移动ω0(并乘以系数1/2)，得到频谱G0(ω),也可以从时域的相乘关系得到解释：g0(t)=[g(t)cos(ω0t)]cos(ω0t)=1/2g(t)+1/2g(t)cos(2ω0t)F[g0(t)]=G0(ω)=1/2G(ω)+1/4[G(ω+2ω0)+G0(ω?2ω0)]（16）（17)再利用一个适当低通滤波器，滤除在频率位2ω0附近的分量，即可取出g(t),完成解调。解调过程如图7示。图7相干解调方框图及频谱这种解调器称为相干解调（或同步解调），需要在接收端产生与发送端频率相同的本地载波，这将使接收机复杂化。为了在接收端省去本地载波，可采用如下方法。在发射信号中加入一定强度的载波信号Acos(ω0t),这时，发送端的合成10信号为[A+g(t)]cos(ω0t),如果A足够大，对于全部t,有A+g(t)0,于是已调信号的包络检波器，即可提取包络，恢复g(t),不需要本地载波。此方法可降低接受机的成本，但付出的代价是要使用价格昂贵的发射机，因为需提供足够强的信号Acos(ω0t)之附加功率。在此种调制方法中，载波的振幅随信号g(t)成比例地改变，因而称为“振幅调制”或“调幅（AM）。也可以控制载波的频率或相位，使它们随信号g(t)成比例地变化，它们的原理也是使g(t)的频谱G(ω)搬移。5.傅里叶变换在抽样技术中的应用数字电子技术的迅速发展，尤其是计算机在自动控制、自动检测以及许多其他领域中的广泛应用，使得用数字技术处理模拟信号的情况也更加普遍了。在通信系统中，利用已有的数字技术处理模拟信号，不仅可以使模拟信号的传输更加简化，而且能保证传输的准确性。而利用数字技术处理模拟信号，首先得将模拟信号数字化。利用抽样可以将模拟信号数字化。通过傅里叶变换可以知道：一定条件下，一个连续时间信号或离散序列均可惟一地用其等间隔的样本值来表示，这种表示是完全和充分的。换言之，这组等间隔的样本值包含了原信号或序列的全部信息，且原信号可以由这组样本值完全恢复出来。3.1理想抽样一般地说，在没有任何附加条件下，不能指望一个连续函数都能惟一地由其一组等间隔的样本值来表征，因为在给定的等间隔时间点上，有无限多个信号都可产生一组相同的样本。然而，如果是带限的连续时间信号，且样本取得足够密，那么该信号就能惟一地由其样本值来表征，且能从这些样本值完全恢复出原信号。设原连续时间信号x(t)是一带限于ωm的连续时间带限信号，即F[x(t)]=X(ω),且X(ω)=0，ωωm(18)11如果抽样间隔Ts满足：Tsπωm或ωs=2π2ωmTs(19)则x(t)就惟一地由其样本值{x(nTs),n=0,±1,±2……}所确定。抽样脉冲信号p(t)是一冲激信号，即p(t)=δTs(t)=∑δ(t?nTs)?∞∞(20)其时域波形及频谱如图3.1.2示。已抽样信号xp(t)也是一个冲激串，每个冲激的强度等于x(t)以Ts为间隔的样本值。即xp(t)=∑x(nTs)δ(t?nTs)?∞∞(21)它是通过图8所示的理想抽样来实现的。带限信号x(t)与周期Ts的冲激串p(t)相乘，便可得到已抽样信号xp(t),即xp(t)=x(t)p(t)(22)x(t)相乘xp(t)p(t)图8理想抽样系统方框图图9（a）中画出了对某个x(t)理想抽样的时域波形。利用傅里叶变换可以在频域中直观观察该理想抽样过程。图9(b)画出了上述过程的频谱。抽样脉冲信号p(t)的频谱为P(ω)=2πTs∑δ(ω?nω)?∞s∞(23)利用频域卷积性质，可得xp(t)的频谱Xp(ω)为12Xp(ω)=1?∞?X(ω)*?ωs∑δ(ω?nωs)?2π??∞?=1Ts∑X(ω?nω)?∞s∞(24)。上示表明xp(t)的频谱X(ω)是的周期复制并乘以（1/Ts）图9（a）冲激串抽样时的信号波形（b）相应信号的频谱。3.2抽样的恢复由图9中可以看出，如果抽样频率ωs不小于2ωm，已抽样信号的频谱X(ω)是无重叠地周期重复。只要满足19式的条件，从频域上看，X(ω)如实地在抽样频率ωs的整数倍频率上重现，因此，可以用一个低通滤波器，把x(t)从xp(t)中完全恢复或重建出来。该低通滤波器的频率响应HL(ω)为Ts，ωω0HL(ω)=0，ωω0其中，ω0是理想低通滤波器的截止频率。频率响应如图10所示。(25)13为讨论方便，取相位特性为零，Ts是抽样脉冲序列的周期。图10低通滤波器H(w)的频谱图滤波器冲激响应h(t)表达式为h(t)=Tsω0Sa(ω0t)π(26)若已抽样信号?s(t)为?s(t)=∑f(nTs)δ(t?nTs)?∞∞(27)利用时域卷积关系可求得输出信号，即原连续时间信号?(t)?(t)=?s(t)*h(t)