多采样率信号处理-信号的抽取与插值

NCEPUBD多采样率信号处理——信号的抽取与插值孙正2007.9NCEPUBD主要内容•引言•信号的抽取•信号的插值•抽取与插值相结合的抽样率转换•信号的多相表示•几个重要的恒等关系•抽取和插值的滤波器实现•抽取与插值的编程实现学习要求：掌握数字域升、降采样的基本原理，升、降采样过程中滤波器的设计、特性和作用，以及插值和抽取前后信号频谱变化。NCEPUBD1引言•研究背景•研究目的•研究内容NCEPUBD1引言1.1研究背景至今，我们讨论的数字系统中只有一个抽样率。但是，在实际应用中，各系统之间的采样率往往是不同的NCEPUBD1引言1.2研究目的要求一个数字系统能工作在“多抽样率（multirate）”状态，以适应不同抽样信号的需要。对一个数字信号，能在一个系统中以不同的抽样频率出现。NCEPUBD1引言1.2研究目的应用举例：既可传输一般的语音信号，也可传输播视频信号的数字传输系统；在音频世界，存在着多种抽样频率；当需要将数字信号在两个具有独立时钟的数字系统之间传递时；对信号（如语音，图象）作谱分析或编码时；对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造成数据的冗余；NCEPUBD1引言1.3研究内容核心内容:信号抽样率的转换及滤波器组。信号的“抽取(decimatiom)”：减少抽样率以去掉过多数据信号的“插值(interpolation)”:增加抽样率以增加数据滤波器组:分析滤波器组和综合滤波器组NCEPUBD2信号的抽取•抽取对信号频谱的影响•先滤波再抽取NCEPUBD设，将x(n)中每M个点中抽取一个，依次组成一个新的序列y(n)，即2.1抽取对信号频谱的影响()()|tnTsxnxt)()(Mnxnyn=-+↓Mx(n)y(n)NCEPUBD2.1抽取对信号频谱的影响y(n)和x(n)的DTFT有如下关系：10/)2()(1)(MkMkjjeXMeY含意：将信号x(n)作M倍的抽取后，所得信号y(n)的频谱等于原信号x(n)的频谱先作M倍的扩展，再在ω轴上每隔作移位后再迭加。2MNCEPUBDP412图9.1.2NCEPUBD2.1抽取对信号频谱的影响)(tx)(nx抽样csff2保证不会发生频谱的混迭)(nxM倍抽取()yn2scfMf不会发生频谱的混迭保证若M是可变的，为防止抽取后在出现混迭，应对x(n)抽取前先作低通滤波，压缩其频带。()jYeNCEPUBD2.2先滤波再抽取h(n)为一理想低通滤波器:1||()0jMHeelse滤波后的输出为kknxkhn)()()(对v(n)抽取后的序列为y(n):()()()()()()kkynMnhkxMnkxkhMnk时域NCEPUBD2.2先滤波再抽取NCEPUBD10)2()2()()(1)(MkMkjMkjjeHeXMeY在(-π/M～π/M)内,抽取后信号的频谱与原信号频谱只是幅度相差M倍。2.2先滤波再抽取频域NCEPUBD3信号的插值•插值的概念•插零后的信号及其频谱•先插值再滤波NCEPUBD3.1插值的概念设，将x(n)中每两个点之中补L-1个0，组成一个新的序列v(n)，即()()|tnTsxnxt↑Lx(n)v(n)0)()(Lnxn其它,2,,0LLnNCEPUBD3.2插零后的信号及其频谱()()()()jjnjnjkLnnkVenexnLexke即)()(LjjeXeV插零后信号的频谱V(ejω)在(-π/L~π/L)内等于X(ejω),相当于将X(ejω)作了周期压缩。换句话说，就是V(ejω)在(-π~π)内包含了L个X(ejω)的压缩样本。NCEPUBD3.2插零后的信号及其频谱NCEPUBD实际实现插值的方法是用v(n)和一低通滤波器作卷积。3.3先插值再滤波0)(ceHj其它L||()()()()()jjjjjLYeHeVecVecXe||L所以应取c=L以保证y(n)=x(n/L)1()()2()()()22jjnnjLjLjnjLLynYeedcccnXeedXeedxLLL频域NCEPUBD3.3先插值再滤波()()*()()()()()kkynnhnkhnkxkLhnkkkLnhkxny)()()(即时域插值时补进来的零，不再是零。NCEPUBD4抽取与插值相结合的抽样率转换合理的方法是先对信号作插值，然后再抽取使用2个低通滤波器使用1个低通滤波器0)(LeHj0||min(,)LM其它该滤波器既去除了插值后的映像又防止了抽取后的混迭NCEPUBD4.1时域上x(n)和y(n)的关系记kLkMnhkxny)()()(y(n)正是单独抽取和单独插值时时域关系的结合[]kMnLm0()([])()LmynxMnLmhmLMn则Mn对模L求余取整[]modLMnMnLLMnLMn因为h(n)是因果滤波器，所以0LkMn()kMLnNCEPUBD4.1时域上x(n)和y(n)的关系y(n)可以看作是将x(n)通过一个时变滤波器所得到的输出。记该时变系统的单位抽样响应为所以g(n,m)是变量m的周期函数，周期为L。因为(,)()LgnmhnLMm,nm(,)()()LLgnmkLhnLMmkMLhnLMmNCEPUBD4.2频域上x(n)和y(n)的关系1(2)1(2)00()1()()0MjLkMMjjkMkkLXeYeUeMM其它),min(||LMNCEPUBD5信号的多相表示意义：使用多相表示可在抽样率转换的过程中去掉许多不必要的计算，因而大大提高运算速度。NCEPUBD5信号的多相表示给定序列h(n)，令，假定M=40~n4812048120()()nnHzhnzhhzhzhz1515111177331414101066221313995511zhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzhzh048120481214812159132481226101434812371115[][][][]zhhzhzhzzhhzhzhzzhhzhzhzzhhzhzhzNCEPUBD给定序列h(n)，令，有5信号的多相表示0~n100)()(MlnMnlzlMnhzzH0)()(nnlzlMnhzE10)()(MlMllzEzzH记则)()(lMnhnel若再记则0)()(nnllznezE类型-I多相表示NCEPUBD5信号的多相表示用M-1-l代替类型I中的l，则有10)1()()(MlMllMzRzzH01)1()()(nnlMlzlMMnhzEzR式中类型II多相表示NCEPUBD5信号的多相表示用-l代替类型I中的l，则有类型III多相表示0)()(nnlzlMnhzQ10)()(MlMllzQzzH)()(1zEzzQlMl显然NCEPUBD6几个重要的恒等关系两个信号分别定标以后再相加后的抽取等于它们各自抽取后再定标和相加。NCEPUBD6几个重要的恒等关系信号延迟M个样本后作M倍抽取和先抽取再延迟一个样本是等效的NCEPUBD6几个重要的恒等关系在M倍抽取器的前后，滤波器z的幂相差M倍NCEPUBD6几个重要的恒等关系NCEPUBD7抽取和插值的滤波器实现•抽取的滤波器实现•插值的滤波器实现•抽取和插值相结合的滤波器实现NCEPUBD7.1抽取的滤波器实现一般框图先卷积后抽取先抽取后卷积NCEPUBD7.1抽取的滤波器实现将滤波器系数分组来实现信号的抽取NCEPUBD7.1抽取的滤波器实现可以用多相结构来实现信号的抽取:)()()()(32231130zEzzEzzEzH10)()(MNnniziMnhzE281522271411261300)()()(zhzhhzEzhzhhzEzhzhhzE抽取多相滤波器NCEPUBD7.1抽取的滤波器实现抽取的多相结构实现NCEPUBD7.2插值的滤波器实现一般框图1(1)231330120()()()()()MMlMllHzzRzzRzzRzRz10)1()(MNnnlzlMMnhzR插值多相滤波器NCEPUBD7.2插值的滤波器实现直接多相实现高效多相实现NCEPUBD7.3抽取和插值相结合的滤波器实现一般框图直接多相实现高效多相实现NCEPUBD8抽取与插值的编程实现10)1()(MNnnlzlMMnhzR10)()(MNnniziMnhzE插值多相滤波器抽取多相滤波器)(),(LMnmLhnmg定义时变滤波器NCEPUBD所以g(n,m)是变量n的周期函数，周期为L。8抽取与插值的编程实现)(),(LMnmLhnmg)(),(LkMLMnmLhkLnmg),()(kLnmgMnmLhLNCEPUBD8抽取与插值的编程实现重写抽取和插值相结合的多抽样率转换系统的输入输出关系:10()()()KmMnMnynxmhMnLmLLL10()()KLmMnxmhMLMnL10()(,)KmMnnxmgmnLLL10()(,)KLmMnxmgmnL该式有利于在计算机上编程以实现信号的抽取与插值。NCEPUBD8抽取与插值的编程实现步骤1：对给定的M和L，设计一低通滤波器h(n)，使其逼近理想低通滤波器0)(LeHj其它),min(||LM步骤2：将长度为N的h(n)分成L个子滤波器，每段长K=N/L，即(,),0,1,,1;0,1,1gmnmknL步骤3：将x(n)按x([Mn/L])来转换，n变化时，只有当Mn/L为整数时才变化。NCEPUBDMATLAB中的interp，interp1，decimate，resample及教材所附的子程序DECINT均可用来实现信号的抽取、插值或二者的结合。8抽取与插值的编程实现