第六章-多采样率数字信号处理

第六章多采样数字信号处理目录6.1引言6.2问题的描述和定义6.2对下采样和上采样的分析6.3有理因子的采样变换6.4多采样信号处理6.5数字滤波器的多级实现6.6多采样率系统的高效实现6.7多采样率信号处理的应用6.7.1数模变换6.7.2多采样率信号处理在ADC中的应用6.7.3多采样率信号处理在数字接收机中的应用6.1:引言在信号处理的很多应用中，需要用到变换数字信号采样频率的问题。原因：A：应用中需要混合不同标准的信号。例不同音频信号的采样率：B：新技术的需要。例信号的采样频率相对带宽很大情形。CD播放器数字音频磁带数字广播44.1KHZ48KHZ32KHZ信号处理过程可视为在两个数字序列时间的线性处理：需要重采样的输入序列x[n]和y[n],他们的采样速率分别为Fx和Fy，如下图所示：重采样DACFxFyx[n]y[n]X(t)y(t)FxFy,下采样FxFy,上采样•重采样的处理过程：上采样，L即整数倍提高采样频率；下采样，D即整数倍降低采样频率；另外，还需要对信号做线性滤波来消除上采样和下采样处理映入的混叠。•两个基本问题：抽取-下采样内插-上采样6.2:问题的描述和定义下采样定义•给定整数D,定义下采样算子S1/D，满足:y[n]=S1/Dx[n]=x[nD]算子S1/D将信号的采样频率降低到原来的D分之一，通过选取D个采样值中的一个来实现。X[n]Dy[n]=S1/Dx[n]=x[nD]•给定整数L,定义下采样算子SL，满足:y[n]=SLx[n]=x[n/L]如果为n/L整数0其他算子SL将信号的采样频率提高L倍，通过增加零采样来实现。y[n]=SLx[n]Lx[n]上采样定义时域描述—下采样6.3对上采样和下采样的分析下采样过程：时域描述—上采样上采样过程：频域描述首先，我们进行定性分析：离散时间序列的抽样:为整数如果其他DDn/n][1012/01DjknDDkeD][][][nxnnvD其复指数叠加形式：12/01[][]DjknDkvnxneD抽样序列：接下来，我们对上，下采样进行定量分析12/01[]()DjkDkVzXezDjez10)/2(1)(DkDkXDV对v[n]做z变换：在频域上，替换可得：jwDnjwnenyenx][][kD2下采样：y[n]=S1/Dx[n]=x[nD]复指数表示为：观察频率范围：内的y[n]，观察的取值，可得结论：1.若，那么频率拉伸到，且不引入混叠。即数字频率和对应着有相同的模拟频率。2.在外的，下抽样后映射带，它将与其他频率产生混叠。如下图所示。DD//[/,/]DDDDD混叠DX[]22D2Dy[]D11D...0][0...0][0...0]0[0...]}[{)(mDDzmDvzDvvnvZzV1(){[]}...[0][]...[]...mYzZynvvDzvmDz)()(/1DzVzY对比v[n]和y[n]的z变换：和对比上述两式，可得：10/1/2/1)(1)()(DkDDkjDzeXDzVzYjez可得：通过上述表达式，替换可得到1012()()DkkYXDD接下来，我们对下采样分析如何画出频谱：1012()()DkkYXDD由上式可知，D倍下采样的序列频谱可以由如下步骤得到：1.将扩展D倍得，注意的周期为2πD。2.将右移2π的整数倍，得3.将2中的D个周期为2πD的函数相加，并乘以1/D.可得Y())(jeX)(/DjeX)(/DjeX)(jeX}1,...1,0|)({/)2(DkeXDkj上采样：y[n]=SL{x[n]}=x[n/L]如果为n/L整数0其他按整数L倍进行上采样，是通过采样值之间简单的增加L-1个零点来达到提高采样率的目的。在这种处理中，并没有破坏原有信息，但插零值会引入混叠。由上采样的定义，可得到L倍上采样序列y[n]的z变换Y(Z)为:L倍上采样序列y[n]的频谱为：)(jeY)()(LjjeXeY故将原序列的频谱压缩L倍，即可得L倍上采样序列的频谱。)(jeXnLnLkkkkLzXznxzLkxzkxzY)(][]/[][)()(jeY1、基于整数因子D的抽取下采样中，X(w)=DTFT{x[n]}中所有的高于∏/D的频率成分会产生混叠，因此在下采样信号前必须把它们滤除掉。这样，可获得下图6-21的方案，其中按D进行的下采样不会产生混叠。6.4有理因子的采样率变换图6-21抽取2、基于整数因子L的内插•与抽取不同，按L的内插会在频率上产生镜像频率。但是，如前面的章节中的分析，所有的镜像都在[-π/L,π/L]范围之外，所以应在下采样之后对信号进行滤波，消除镜像频率。如图6-22所示。图6-22内插3、有理因子为L/D的重采样•因为抽取将破坏原始信息，而内插不会，所以将抽取器放在最后实现，而先实现内插器。如图6-23所示。把用于滤除镜像频率和混叠的两个低通滤波器级联起来，它们均在相同的高采样率下工作，所以可将它们组合，从而构成一个滤波器。它们的带宽分别为π/L和π/D，因此合并后滤波器的带宽为两者间的最小者，即π/max(L,D)。图6-23基于有理因子的频率变换例6-7信号x[n]的采样频率为Fx=10kHz，分析下面两种情况：采用新的采样频率Fy=22kHz对它进行重采样，处理后就可以把它和别的信号混合。因为2211105yxFLFD因此，需要按L=11上采样，按D=5下采样。由于11=max（L,D），所以低通滤波器的阻带频率w=∏/11。注意，虽然重采样频率提高了，但在模拟频域上重采样后信号的频谱并没有发生变化，如图6-24所示图6-24比较高频率重采样的例子：无信息损失对信号x[n]按Fy=8kHz重采样。需要：84105yxFLFD上式说明，需要按L=4采样和按D=5下采样。由于5=max（L,D），所以低通滤波器的阻带频率为如图6-25中的频谱所示，由于采样频率的降低，部分信息丢失，高于4kHz的频率部分都去除了。/5图6-25以较低频率重采样的例子：存在信息损失在一些应用中，需要设计带宽相对于采样频率很小的滤波器。例如，要设计一个带宽为几Hz的低通滤波器，而采样频率为几KHz。该滤波器要求数字频率w中的过渡带必须非常窄，因此需要复杂度很高的滤波器。6.5数字滤波器的多级实现45050096SHzFHzkHzPs通带F阻带采样频率F注意，阻带频率比采样频率小几个数量级，它将导致滤波器的过渡带非常窄而复杂度很高。相应的数字频域指标为p3s3sp24500.996961025009696100.196通带阻带过渡带例6-8假设需要设计的滤波器的指标如下：/0.1/9696087680MM9如果采用汉明窗，那么FIR滤波器的长度M可根据8计算，。更糟糕的是，该滤波器需要工作在非常高的采样频率上，每秒钟需要768096000=0.7410次乘法。使用多级实现，在获得相同结果的前提下，可以降低复杂度和每秒操作的数目。其通用结构如图6-26所示，有一组滤波器和抽取器实现。在设计低通滤波器时，假定需要通过的信号频谱带宽Fp比奈奎斯特（Nyquist）频率Fx/2小很多，其中Fx为采样频率。如果按整数因子D抽取且满足Fx/2DFp，那么变换到新的采样频率Fx=Fx/D后，不会出现混叠和信息丢失。如果能将其分解D=D1D2·······DM，其中Di为整数，那么可以用M个抽取器完成抽样，每一级按Di，i=1，··········，M降低采样率。图6-26多级抽取相对于采样频率而言，要通过的信号带宽很小，但只要细心设计每一个抽取器可使其计算复杂度足够低。在第i级中，将采样频率Fi降至Fi+1=Fi/Di。尽管不希望出现混叠，但即使有混叠出现，只要它没有干扰要需要通过的信号，可以一直容忍它的存在。所以，第i级滤波器的带宽没必要为∏/Di，（对应与奈奎斯特频率Fi+1/2）,只要混叠频率高于频率Fx/2D，其带宽可以更宽。混叠部分最终都将被滤除。图6-27第i个抽取器的频率指标1/2,/2iixxHFFFDFDiPS因此，在每一级抽取D中，低通滤波器在模拟频率上的指标如下：通带频率F，希望通过的信号通带频率。阻带频率F保证所有混叠的频率高于。x/2/2/2YxDFFDi+1i+1i+1观察图6-27，可得到如下两个结论：1）任意频率（F/2）+F,其中F0，将会在（F/2）-F处产生混叠。2）所有（F/2）-FF的混叠频率都被保留下来，因为最终高于新的奈奎斯特频率的频率成分都被滤除。第i个滤波器的频率相应如图6-28所示。图6-28第i级低通滤波器的频率响应例6-9回到本节开始时的例子，其要求如下：通过所有[0，450]Hz范围内的频率成分。阻止所有所有F500Hz的频率成分。采样频率为Fx=96kHz。通过分析指标，可以降低采样频率到Fy=1kHz，整个过程不会丢失需要通过的信号。因此，总的抽取因子D=96,可如下分解为D=96=8×6×2=D1D2D3，如图6-29所示。抽取因子的分解是任意的，可以有多种分解形式达到总的抽取要求。例如，也可分解为D1D2D3=2×6×8、D1D2D3=2×8×6、D1D2=12×8或其他形式。虽然存在一些得到有效设计的准则，但也可以通过计算每一种情况的复杂度而从中选取最佳的。图6-29示例如上图所示，采用分解形式D=96=2×8×6=D1D2D3，下面计算所有相关的采样频率，即F1=Fx=96kHz、F2=F1/8=12kHz和F3=F2/6=2kHz和F4=F3/2=1kHz。所有滤波器的指标（通带和阻带）频率将在下表中列出。所有的滤波器的通带均包含FP=0.45kHz，每一级滤波器的阶数N是基于汉明窗设计而得到的，且阻带衰减至少为40dB。当然，不同的设计（例如等纹波滤波器）可获得不同的（较低的）计算复杂度。如果将上述滤波器的阶数与没有抽取设计的滤波器做比较，可以发现不仅阶数降低很多，而且滤波器H2和H3工作在非常低的采样频率下，因此，其每秒所需要的计算量大幅度下降。在前面的章节中，已经介绍了无失真地实现数字信号采样频率的变换。其具体方法为先进行线性滤波再下采样，或先上采样在线性滤波。正如前面分析的那样，滤波器主要用于消除上采样和下采样产生的混叠。图6-30抽取器和内插器6.6多采样系统的高效实现仔细观察这两个系统，会发现其效率很低。例如，抽取因子为D的抽取器中，对线性滤波器输出的每D个样值中，仅有一个被采样保留，而其余D-1个都被丢弃，因此对它们的计算是无意义的。同样，在内插因子为L的内插器中，滤波器输入中每L个采样值中有L-1个为零，仅有一个是有用的数据。因此，针对多采样率系统，需要研究更有效的方式来实现上述滤波器，以避免不必要的运算。1、恒等互换•如果滤波器有着特殊的结构，那么可以推断上采样器（或下采样器）可以与滤波器交换位置而保持结果不变。这一点将导致恒等变换，如图6-31所示。滤波器要能够交换，其传输函数必须具有如下形式：()[]0[0]0[1]MnMmGZgnzggz200[2]0Mgz图6-31Noble恒等式即滤波器的冲激响应在序号非M的整数倍数时为零，其中M为上采样（或下采样）因子，如图6-32所示。恒等互换的推导非常简单。首先，可以验证要一个简单的特例，当G（z）=z-1时，即仅包含一个时延，此时恒等互换满足。其次，对于因子为D的抽取，根据图中右边部分所示，可得：y（n+1）=x[nD]。做替换n+1→n，可得到y[n]=x[(n-1)D]=x[nD-D]再看图左边，令v[n]