第四节随机变量函数的分布-仲恺农业工程学院

第四节随机变量函数的概率分布X是分布已知的随机变量，g(·)是一个已知的连续函数，如何求随机变量Y=g(X)的分布？比较常见的一些函数y=g(x)的形式是线性函数y=a+bx、幂函数y=xk(特别k=2)、指数函数y=ex、对数函数y=lnx等等；概率论中的很多重要的分布都是通过一些简单的分布变换得出来的。一.离散随机变量函数的概率分布如果离散随机变量X具有分布律：P{X=xk}=pk,k≥1；则Y=g(X)也是一个离散随机变量，相应分布律是P{Y=g(xk)}=pk,k≥1。需要把可能重合的一些g(xk)的概率相加思考1X~B(1,p)，则Y=X2服从什么分布？□例2.5.1已知随机变量X具有如下的分布律，X–1012pk0.20.30.10.4计算Y=(X–1)2的概率分布。解.(X–1)24101pk0.20.30.10.4整理后立刻得到Y的分布律，Y014pk0.10.70.2例2.5.2(报童问题)假定报童有5份报纸，卖出的数量X分布律如下k012345pk0.10.10.20.30.20.1他每卖掉一份报纸将获得报酬1元，没有卖出而剩下的每份赔偿0.5元。计算最终所得的分布。解.以Y记报童最终的所得，因此有Y=1×X–0.5×(5–X)=1.5X–2.5k012345pk0.10.10.20.30.20.1X的分布律k–2.5–10.523.55pk0.10.10.20.30.20.1Y=1.5X–2.5的分布律□三、连续型随机变量函数的分布解：设Y的分布函数为FY(y)，例2设X~其它,040,8/)(xxxfX求Y=2X+8的概率密度.FY(y)=P{Yy}=P(2X+8y)=P{X}=FX()28y28y于是Y的密度函数21)28()()(yfdyydFyfXYY0)28(yfX168)28(yyfX0故其它,0168,328)(yyyfY21)28()()(yfdyydFyfXYY注意到0x4时，0)(xfX即8y16时，0)28(yfX此时168)28(yyfXY=2X+8其它,040,8/)(xxxfX例3设X具有概率密度,求Y=X2的概率密度.)(xfX)(yXyP求导可得0,00,)()(21)()(yyyfyfydyydFyfXXYY当y0时,)()(yYPyFY)(2yXP注意到Y=X20，故当y0时，0)(yFY)(xFX)(yFY解：设Y和X的分布函数分别为和，)()(yFyFXX若exxfX2221)(则Y=X2的概率密度为：0,00,21)(221yyyfeyyY0,00,)()(21)()(yyyfyfydyydFyfXXYYx其它,0,)()]([)(ydyydhyhfyfY其中，),(minxgbxa),(maxxgbxa此定理的证明与前面的解题思路类似.x=h(y)是y=g(x)的反函数定理设X是一个取值于区间[a,b]，具有概率密度f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且对于任意x,恒有或恒有，则Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为()0gx()0gx下面我们用这个定理来解一个例题.例6设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度.解：在区间(0,1)上,函数lnx0,故y=-2lnx0,20yx于是y在区间(0,1)上单调下降，有反函数/2()yxhye由前述定理得/2/2/2()(),01()0,yyyXYdefeefydy其它注意取绝对值/2/2/2()(),01()0,yyyXYdefeefydy其它其它,010,1)(xxfX已知X在(0,1)上服从均匀分布，代入的表达式中)(yfY其它,,)(/00212yeyfyY得即Y服从参数为1/2的指数分布.如果X~N(,2)，常数b≠0，则有Y=a+bX~N(a+b,b22)一般正态分布与标准正态分布的相互转化(1)如果X~N(,2)，Y=———~N(0,1)；X–正态分布的线性变换仍然服从正态分布(2)如果X~N(0,1)，Y=+X~N(,2)练习2.5.3X~U(0,1)，那么Y=1–X服从什么分布？一般地，均匀分布的线性变换是否仍是均匀分布？如果随机变量X具有密度函数pX(x)，则Y=X2的密度函数具有如下形式：YXXpypypyyy1()[()()],02随机变量平方的密度函数公式yYpyeyy21(),02N2(0,1)的密度