人教版必修四第一章综合检测题

第一章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若α是第二象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角[答案]A[解析]α为第二象限角，不妨取α＝120°，则180°－α为第一象限角．2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()A．2B．sin2C.2sin1D．2sin1[答案]C[解析]由题设，圆弧的半径r＝1sin1，∴圆心角所对的弧长l＝2r＝2sin1.3．(2015·宁波模拟)如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是()A．(cosθ，sinθ)B．(－cosθ，sinθ)C．(sinθ，cosθ)D．(－sinθ，cosθ)[答案]A[解析]设P(x，y)，由三角函数定义知sinθ＝y，cosθ＝x，故P点坐标为(cosθ，sinθ)．4．(2015·昆明模拟)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝15x，则tanα＝()A.43B．34C．－34D．－43[答案]D[解析]x0，r＝x2＋16，∴cosα＝xx2＋16＝15x，∴x2＝9，∴x＝－3，∴tanα＝－43.5．如果sinα－2cosα3sinα＋5cosα＝－5，那么tanα的值为()A．－2B．2C.2316D．－2316[答案]D[解析]∵sinα－2cosα＝－5(3sinα＋5cosα)，∴16sinα＝－23cosα，∴tanα＝－2316.6．(2015·江苏邳州高一检测)设α为第二象限角，则sinαcosα·1sin2α－1＝()A．1B．tan2αC．－tan2αD．－1[答案]D[解析]sinαcosα·1sin2α－1＝sinαcosα·cos2αsin2α＝sinαcosα·|cosαsinα|，又∵α为第二象限角，∴cosα0，sinα0.∴原式＝sinαcosα·|cosαsinα|＝sinαcosα·－cosαsinα＝－1.7．(2015·普宁模拟)若sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2，则sinθcos3θ＋cosθsin3θ的值为()A．－81727B．81727C.82027D．－82027[答案]C[解析]∵sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2，∴sinθ＝3cosθ.∴sinθcos3θ＋cosθsin3θ＝3cos2θ＋127cos2θ＝8227cos2θ由sinθ＝3cosθsin2θ＋cos2θ＝1得cos2θ＝110∴sinθcos3θ＋cosθsin3θ＝82027.8．若sinα是5x2－7x－6＝0的根，则sin－α－3π2sin3π2－αtan22π－αcosπ2－αcosπ2＋αsinπ＋α＝()A.35B．53C.45D．54[答案]B[解析]方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－35，x2＝2.则sinα＝－35原式＝cosα－cosαtan2αsinα－sinα－sinα＝－1sinα＝53.9．(2015·安徽理)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝2π3时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()A．f(2)f(－2)f(0)B．f(0)f(2)f(－2)C．f(－2)f(0)f(2)D．f(2)f(0)f(－2)[答案]A[解析]∵f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且x＝2π3是经过函数f(x)最小值点的一条对称轴，∴x＝2π3－π2＝π6是经过函数f(x)最大值点的一条对称轴．∵|2－π6|＝12－π6，|(π－2)－π6|＝5π－126，|0－π6|＝π6，∴|2－π6||(π－2)－π6||0－π6|，且－π322π3，－π3π－22π3，－π302π3，∴f(2)f(π－2)f(0)，即f(2)f(－2)f(0)．10．将函数y＝sin(x－π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是()A．y＝sin12xB．y＝sin(12x－π2)C．y＝sin(12x－π6)D．y＝sin(2x－π6)[答案]B[解析]y＝sin(x－π3)――→横坐标伸长为原来的2倍y＝sin(12x－π3)y＝sin[12(x－π3)－π3]＝sin(12x－π2)．11．已知函数f(x)＝sinx－π2(x∈R)，下面结论错误的是()A．函数f(x)的最小正周期为2πB．函数f(x)在区间0，π2上是增函数C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称D．函数f(x)是奇函数[答案]D[解析]∵f(x)＝sinx－π2＝－cosx(x∈R)，∴T＝2π，在0，π2上是增函数．∵f(－x)＝－cos(－x)＝－cosx＝f(x)．∴函数f(x)是偶函数，图象关于y轴即直线x＝0对称．12．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y(米)可看作是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b，下表是某日各时的浪高数据：t/时03691215182124y/米2321322320.99322则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是()A．y＝12cosπ6t＋1B．y＝12cosπ6t＋32C．y＝2cosπ6t＋32D．y＝12cos6πt＋32[答案]B[解析]∵T＝12－0＝12，∴ω＝2πT＝2π12＝π6.又最大值为2，最小值为1，则A＋b＝2，－A＋b＝1，解得A＝12，b＝32，∴y＝12cosπ6t＋32.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知函数f(x)＝3x＋sinx＋1，若f(t)＝2，则f(－t)＝________.[答案]0[解析]令g(x)＝3x＋sinx.因为g(x)为奇函数，且f(t)＝3t＋sint＋1＝2，所以g(t)＝3t＋sint＝1，则f(－t)＝g(－t)＋1＝－g(t)＋1＝－1＋1＝0.14．(2015·四川文)已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是________．[答案]－1[解析]sinα＋2cosα＝0⇔tanα＝－2，所以2sinαcosα－cos2α＝2sinαcosα－cos2αsin2α＋cos2α＝2tanα－1tan2α＋1＝－4－14＋1＝－1.15．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0，|φ|π2)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f(x)＝________.[答案]2sinπ4x－π4＋6[解析]由题意得A＋B＝8，－A＋B＝4，解得A＝2，B＝6.周期T＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT＝π4.∴f(x)＝2sinπ4x＋φ＋6.又当x＝3时，y＝8，∴8＝2sin3π4＋φ＋6.∴sin3π4＋φ＝1，取φ＝－π4.∴f(x)＝2sinπ4x－π4＋6.16．关于函数f(x)＝4sin(2x＋π3)(x∈R)，有下列命题：①函数y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos(2x－π6)；②函数y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；③函数y＝f(x)的图象关于点(－π6，0)对称；④函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－π6对称．其中，正确的是________．(填上你认为正确命题的序号)[答案]①③[解析]①f(x)＝4sin(2x＋π3)＝4cos(π2－2x－π3)＝4cos(－2x＋π6)＝4cos(2x－π6)．②T＝2π2＝π，最小正周期为π.③∵2x＋π3＝kπ，当k＝0时，x＝－π6，函数f(x)关于点(－π6，0)对称．④2x＋π3＝π2＋kπ，当x＝－π6时，k＝－12，与k∈Z矛盾．∴①③正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，求2sinα＋cosα的值；(2)已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值；(3)已知角α终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为，求2sinα＋cosα的值．[解析](1)∵r＝x2＋y2＝5，∴sinα＝yr＝－35，cosα＝xr＝45，∴2sinα＋cosα＝－65＋45＝－25.(2)∵r＝x2＋y2＝5|a|，∴当a0时，r＝5a，∴sinα＝－3a5a＝－35，cosα＝45，∴2sinα＋cosα＝－25；当a0时，r＝－5a，∴sinα＝－3a－5a＝35，cosα＝－45，∴2sinα＋cosα＝25.(3)当点P在第一象限时，sinα＝35，cosα＝45，2sinα＋cosα＝2；当点P在第二象限时，sinα＝35，cosα＝－45，2sinα＋cosα＝25；当点P在第三象限时，sinα＝－35，cosα＝－45，2sinα＋cosα＝－2；当点P在第四象限时，sinα＝－35，cosα＝45，2sinα＋cosα＝－25.18．(本题满分12分)已知f(x)＝2sin(2x＋π6)＋a＋1(a为常数)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若当x∈[0，π2]时，f(x)的最大值为4，求a的值；(3)求出使f(x)取得最大值时x的取值集合．[解析](1)由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z，所以f(x)的单调递增区为[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)．(2)当x∈[0，π2]时，2x＋π6∈[π6，76π]，故当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)有最大值a＋3＝4，所以a＝1.(3)当sin(2x＋π6)＝1时f(x)取得最大值，此时2x＋π6＝2kπ＋π2，k∈Z，即x＝kπ＋π6，k∈Z，此时x的取值集合为{x|x＝kπ＋π6，k∈Z}．19．(本题满分12分)已知x∈[－π3，2π3]，(1)求函数y＝cosx的值域；(2)求函数y＝－3sin2x－4cosx＋4的值域．[解析](1)∵y＝cosx在[－π3，0]上为增函数，在[0，2π3]上为减函数，∴当x＝0时，y取最大值1；x＝2π3时，y取最小值－12.∴y＝cosx的值域为[－12，1]．(2)原函数化为：y＝3cos2x－4cosx＋1，即y＝3(cosx－23)2－13，由(1)知，cosx∈[－12，1]，故y的值域为[－13，154]．20．(本题满分12分)(2015·湖北文)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y＝g(x)图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．[解析](1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12Asin(ωx＋φ)050－50且函数表达式为f(x)＝5sin(2x－π6)．(2)由(1)知f(x)＝5sin(2x－π6)，因此g(x)＝5sin[2(x＋π6)－π6]＝5sin(2x＋π6)因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，