习题五代数系统

习题五代数系统一、选择题1、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）A．a*b=a-bB．a*b=max{a,b}C．a*b=a+2bD．a*b=|a-b|2、下列运算中关于整数集不能构成半群的是（）.A．ab=max{a,b}B．ab=bC．ab=2abD．ab=|a-b|3、设有代数系统G=〈A，*〉，其中A是所有命题公式的集合，*为命题公式的合取运算，则G的幺元是（）.A．矛盾式B．重言式C．可满足式D．公式p∧q4、设群G=A,*中,A的元素个数大于1，若元素a∈A的逆元素为b∈A，则a*b的运算结果是().A.aB.bC.G中零元素D.G中幺元5、若(A，*)是一个代数系统，且满足结合律，则(A，*)必为().A.半群B.独异点C.群D.可结合代数6、对于一个代数系统,以下命题成立的是().。A.每个元素必有左逆元B.一个元素有左逆元,则它也是右逆元C.一个元素的左右逆元不一定相等D.一个元素的左逆元存在时必唯一7、设*是集合A上的二元运算，称Z是A上关于运算*的零元，若（）.A．有x*Z=Z*x=ZB．ZA，且有x*Z=Z*x=ZC．ZA，且有x*Z=Z*x=xD．ZA，且有x*Z=Z*x=Z8、设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有().A.〈Z，+，/〉B.〈Z，/〉C.〈Z，-，/〉D.〈P(A)，∩〉9、设〈G,*〉是群，且|G|1，则下列命题不成立的是().A.G中有幺元B.G中有零元C.G中任一元素有逆元D.G中除了幺元外无其他幂等元10、下列集合关于所给定的运算成为群的是（）.A．已给实数a的正整数次幂的全体，且a{0，1，-1}，关于数的乘法B．所有非负整数的集合，关于数的加法C．所有正有理数的集合，关于数的乘法D．实数集，关于数的除法二、填空题1、设Z是整数集，在Z上定义二元运算*为a*b=a+b+a·b，其中+和·是数的加法和乘法，则代数系统Z,*的幺元是，零元是.2、，〉是模6加群，则它的生成元是，24=.3、对实数的普通加法和乘法，____________是加法的幂等元，____________是乘法的幂等元.4、设A={1,5,8}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点A,*中，单位元是____________，零元是____________。5、令A={a,b,c}，A,*是循环群，a是单位元，b是生成元，则b2=________________，c的阶是________________.6、设Q为有理数集，笛卡尔集S=Q×Q，*是S上的二元运算，a,b,x,y∈S,a,b*x,y=ax,y+b,则*运算的幺元是________________.a,b∈S,若a≠0，则a,b的逆元是________________.7、设S，*是群，则S，*满足结合律和______________；若｜S｜l，S中不可能有______________.8、设Z是整数集，+是整数加法运算，则Z,+是群，其幺元是_____，对任一整数i,其逆元是_____.9、代数系统A,.，其中A为命题公式集合，.为析取运算，则A，.中零元素是____，幺元是____.10、设*是集合S上的二元运算，若运算*满足________________且存在________________，则称S，*为独异点。三、计算题1、设A={a,b,c}，P（A）是A的幂集，是集合对称差运算。已知P(A),是群。在群P(A),中，①找出其幺元。②找出任一元素的逆元。③求元素x使满足{a}x={b}四、证明题1、设G，为一群。证明：（1）若对任意aG有a2=e，e为幺元，则G为阿贝尔群。（2）若对任意a，bG有(ab)2=a2b2，则G为阿贝尔群。2、设R是实数集合，}0{*RR，在RR*上定义二元运算为：dbcacdcba,,,，试证明,*RR是一个群。3、设I是整数集合，＋是普通加法，试证明,I是一个群。,I是否循环群。4、I上的二元运算*定义为：a,bI，a*b=a+b-2。试证：I,*为群。5、设G，*是一个群，x∈G，定义：ab=a*x*b，a,b∈G.证明：G,也是一个群.