习题答案第二章

第二章开放式光腔与高斯光束习题1．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：其往返矩阵为：由于是共焦腔，有12RRL往返矩阵变为若光线在腔内往返两次，有可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。5．激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。解：设两腔镜1M和2M的曲率半径分别为1R和2R，121m,2mRR122212111210101122110101212(1)222222[(1)][(1)(1)]ABLLTCDRRLLLRRLLLLRRRRRR1001T21001T工作物质长0.5ml，折射率1.52根据稳定条件判据：其中由(1)解出2m1mL由(2)得所以得到：2.17m1.17mL6．图2.1所示三镜环形腔，已知l，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的(cos)/2fR，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，/(2cos)fR，为光轴与球面镜法线的夹角。图2.1解：22222101011211110101442132221ABllCDffllllfffllflf221312llADffllRR平面镜l0111(1)21LL()(2)lLLl10.5(1)0.171.52LLL稳定条件223111llff左边有22320210llffllff所以有21llff或对子午线：对弧失线：有：或所以同时还要满足子午线与弧失线7．有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm，20.12cmda，λ=632.8nm，镜的反射率为121,0.96rr，其他的损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择00TEM模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一个大略的估计。氦氖增益由公式计算。解：设01TEM模为第一高阶模，并且假定00TEM和01TEM模的小信号增益系数相同，用0g表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式04e1310glld0012001201e(10.003)1Ie(10.003)1IIglglrrrrcos2Rf子午2cosRf弧失223cosLR21cosLR4243333lRlRl或43343923lRlRl或根据已知条件求出腔的菲涅耳数由图2.5.5可查得00TEM和01TEM模的单程衍射损耗为氦氖增益由公式计算。代入已知条件有0e1.075gl。将0egl、00、01、1r和2r的值代入I、II式，两式的左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足II式的条件，则要求010.047根据图2.5.5可以查出对应于01的腔菲涅耳数'0.90N由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长62'2300632.8100.90.83mmaLN因此，只要选择小孔阑的边长略小于0.83mm即可实现00TEM模单模振荡。8．试求出方形镜共焦腔面上30TEM模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？解：在厄米高斯近似下，共焦腔面上的30TEM模的场分布可以写成令2/()XLx，则I式可以写成22(/)30303(,)HexyLvxyCX式中3HX为厄米多项式，其值为33H8-12XXX由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令3H0X，得2270.061.930632.810aNL8.3700601101004e1310glLd22(/)303032(,)HeIxyLvxyCxL1230;3/2;3/2XXX考虑到0s/L，于是可以得到镜面上的节点位置所以，30TEM模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在0和0s3/2处，节线之间位置是等间距分布的，其间距为0s3/2；而沿y方向没有节线分布。10．今有一球面腔，11.5mR，21mR，80cmL。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。解：该球面腔的g参数为由此，120.85gg，满足谐振腔的稳定性条件1201gg，因此，该腔为稳定腔。两反射镜距离等效共焦腔中心O点的距离和等价共焦腔的焦距分别为根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。120s30s330;;22xxx1110.47LgR2211.8LgR211212121212212()1.31m()()()0.51m()()()()()0.50m[()()]LRLzLRLRLRLzLRLRLRLRLRRLfLRLR1R2R等价共焦腔2z1zOLff11.解：平凹腔L＝50cm，凹面镜的R＝2m，2a＝1cm，λ＝10.6um，由公式可得由平凹腔和对应共焦腔的关系可知，束腰位置在平面镜处，平面镜上的光斑半径既是腰斑半径，有进而可得计算等效菲涅耳数，有其中可得由可得，13.解：R1=∞，R2＝1m，由公式可知，在满足稳定性条件L1m范围，当L（1－L）取极大值时θ0取极小值，可求得在L＝0.5m时，θ0取极小值，根据上述公式可画出光束发散角θ0与腔长L的关系曲线，如下所示14.解：R1=∞，R20，稳定性条件为R2L，可得g参数：g1=1,g2=1-L/R20.由公式可得：（1）由上述公式，画出R2=100cm时，ωs1、ωs2随L变化的曲线如下：（2）由上述公式，画出L=100cm时，ωs1、ωs2随R2变化的曲线如下：15.解：因腔是半共焦腔，可知基模高斯光束的共焦参数f＝R/2=L=1m，远场发散角光束束腰半径：束腰在腔的平面镜镜面位置。注：对半共焦腔，在平面镜上的光斑半径即是束腰半径，凹面镜上的光斑半径s22016．某高斯光束腰斑大小为0=1.14mm，=10.6μm。求与束腰相距30cm、10m、1000m远处的光斑半径及波前曲率半径R。解：入射高斯光束的共焦参数根据求得：17．若已知某高斯光束之0=0.3mm，=632.8nm。求束腰处的q参数值，与束腰相距30cm处的q参数值，以及在与束腰相距无限远处的q值。解：入射高斯光束的共焦参数根据0()qzzqzif，可得束腰处的q参数为：(0)44.7cmqi与束腰相距30cm处的q参数为：(30)(3044.7)cmqiz30cm10m1000m(z)1.45mm2.97cm2.96m()Rz0.79m10.0m1000m200.385mf202(z)=1()zffRzzz2044.7cmf与束腰相距无穷远处的q参数为：emR(),I()44.7cmqq18.解：平凹腔腔长234LR，g1＝1，g2＝0.25，假设腔内介质折射率为η，对TEM00模可得谐振频率注：也可由高斯光束在腔内传输的相位变化来确定，从平面镜到凹面镜相位变化为－[kL-arctg(L/f)]，f可计算得到由谐振条件计算谐振频率可得到和上面相同的结果。19.解：（1）在稳定谐振腔内存在自再现的高斯光束，自再现高斯光束在球面镜镜面处的等相位面曲率半径就等于镜面的曲率半径100cm。（2）对TEMmnq模，高斯光束在腔内一次往返相移为由谐振条件往返相移应为2π的整数倍，可得由此可得谐振频率20.21．某高斯光束0=1.2mm，=10.6μm。今用F=2cm的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m、1m、10cm、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。解：入射高斯光束的共焦参数又已知22.010mF，根据得l10m1m10cm0l2.00cm2.08cm2.01cm2.00cm02.40μm22.5μm55.3μm56.2μm200.427mf2220022()()()lFFlFlFfFlFf从上面的结果可以看出，由于f远大于F，所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且不论入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上。22.激光器输出光=10.6μm，0=3mm，用一F=2cm的凸透镜距角，求欲得到'0μm=20及μm2.5时透镜应放在什么位置。解：入射高斯光束的共焦参数已知22.010mF，根据得020μm时，1.39ml，即将透镜放在距束腰1.39m处；02.5μm时，23.87ml，即将透镜放在距束腰23.87m处。23.2.6统，入射光=10.6μm，求0及3l。图2.2解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置由于11lF，所以11lF=2cm所以对第二个透镜，有213cmlll202.67mf0022()FlFf222020FlFfcml1523lcml21mm30cmF21cmF52'0''00022.49μmF已知20.05mF，根据得014.06μm，38.12cml24．某高斯光束0=1.2mm，=10.6μm。今用一望远镜将其准直。主镜用镀金反射镜R=1m，口径为20cm；副镜为一锗透镜，1F=2.5cm，口径为1.5cm；高斯束腰与透镜相距l=1m，如图2.3所示。求该望远系统对高斯光束的准直倍率。图2.3解：入射高斯光束的共焦参数为由于1F远远的小于l，所以高斯光束经过锗透镜后将聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半径为这样可以得到在主镜上面的光斑半径为2401.49910mf22232222020222()()()lFFlFlFfFlFflmR1cmF5.21mm2.10200.427mf1002210.028mm()FlFf0()6cm10cmRR20012ln()PaAPP即光斑尺寸并没有超过主镜的尺寸，不需要考虑主镜孔径的衍射效应。这个时候该望远系统对高斯光束的准直倍率为25．激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束共焦参数f的实验原理及步骤。解：一、实验原理通过放在离光腰的距离为z的小孔(半径为a)的基模光功率为(I)式中，0P为总的光功率，()Pz为通过小孔的光功率。记1()PPz，则有(II)注意到对基模高斯光束有在(II)式的两端同时乘以/，则有令(III)则解此关于f的二次方程，得因为a、0P、1P、z都可以通过实验测得，所以由(III)及(IV)式就可以求得基模高斯光束的22101101.9RlMF222()0()(1e)azPzP220012()ln()azPPP22