习题课-单自由度系统

习题课-单自由度系统1.图示系统质量块质量为m=10kg，弹簧刚度为k=30kN/m并且弹簧质量可以忽略，质量块被向左方向推离位置1mm后放手，求此系统的固有频率、周期和响应，以及弹簧所受的力。2.如果前题的系统必须考虑该弹簧的质量，弹簧单位长度的质量等于=0.1kg，弹簧的长度为L=10mm。求系统的固有频率并与上题比较，误差有多大？m提示：质量块的位移用)(tx来表示。假设在振动过程中弹簧位移是线性的。显然左端不动、右端与质量块一致，则可设在距离弹簧左端处取一质量为d的微单元，则该单元位移为Ltx)(，则系统的动能为：)(321L3)(21)(21)(21)(21T2232222200txLmtxtxmdtxLtxmLL系统的势能为:Ltx)(,k)(txLm)(212tkxV系统机械能:)(21)(32122tkxtxLmVTE由根据机械能守恒原理0dtdE得到系统振动微分方程为：0)()(3tkxtxLm代入数据可得：3.设无阻尼质量-弹簧系统在（0，1t）时间间隔内受到突加的矩形脉冲力激励如图所示。tOF(t)t1F0（1）求系统响应；解：（1）由图可知011(0)()()0FttFttt当10tt时，由杜哈梅积分得0()()()txtFhtd则001()sin()tnnxtFtdm解得0()(1cos)nFxttk当1tt时，由杜哈梅积分分段积分得到110()()()()()tttxtFhtdFhtd110011()sin()0sin()ttnntnnxtFtdtdmm10001()cos()|[cos()cos]tnnnFxttkFtttk由此可以写出系统响应01011(1cos)0()[cos()cos]nnnFtttkxtFtttttk（2）求系统在该激励下的响应谱；当脉冲力作用时间1t超过系统的半周期即12Tt时，位移响应()xt的驻值发生在()0mxt，即2mTt时刻亦即12mtT，位移的最大值为02()2FTxk。当12Tt时，位移响应()xt在脉冲力作用的10tt时间间隔内单调增大，最大值只能出现在脉冲力停止作用后的阶段1tt。对系统响应()xt求导并使()0xt求的()xt最大值011[sinsin()]0nnnFtttttk则1()nmnmttt即12nnmtt或121(1)4mttTT代入原式得TtkFxm10sin2于是011100102sin12sin022122msFtttkTFTTxkFxtkFTk111211(1)0421122mtttTTtTT表示了msxx、1tT及mtT、1tT的关系xmxst1T2100.511.5tmt1T0.50.2500.511.5T(a)(b)4.参数识别一个质量为1.95kg的物体在粘性阻尼介质中作强迫振动，激振力为()25sin(2)Ptft牛顿。（1）测得系统共振时的振幅为1.27cm，周期为0.20s，求系统的阻尼比及阻尼系数c；（2）如果4fHz，除去阻尼后的振幅是有阻尼时的多少倍？解（1）系统的固有频率n等于12100.20n由共振发生时ncPkPB002（其中B为振幅）得阻尼系数为022562.66/1.271010nPcNsmB则阻尼比为51.095.110266.622mcn除去阻尼后的振幅为012(1)PBk有阻尼时的振幅为2220)2()1(1kPB其中频率比算出为40.81/0.20nnff于是得到221)12(1BB22)8.018.051.02(15.悬臂梁端部有集中质量块图（2.9）所示为悬臂梁端部有集中质量块的振动系统，设梁抗弯刚度为EI、单位长度质量为、梁长L、质量块质量m。当只关心一阶频率时，可以将其简化为单自由度系统。假设梁的振动时位移曲线为),(txw，则梁振动位移为)()(),(tqxytxw，其中)(xy可根据梁的静变形曲线取得，它应满足梁的边界条件，)(xy选取的好坏影响到计算精度。系统动能：)(tqLx,EIm9.2图)(qdxy)L(y21dxyq21q)L(y21x)(q21)(q)L(y21T2L022L022222)x(2y220tmmdttmL由功能原理，外力所做的功W数值上等于积蓄在弹性体内的应变能V。dx)),((EI212)),((2)(222022202xtxwdxEIxtxwEIdxEIxMVLL则dxq)y(EI21l022V可得振动微分方程：0qdx)y(EIqdxy)L(yL02L022m（2.14）如取振型函数为)2Lcos(-1y(x)x则0])2cos4([2cos2cos21022202tqdxxLLEItqdxxLxLmLL即03242334tqLEItqLm所以振动微分方程为：43340232mLqtEIqtL如取振型函数为幂级数2331()()22xxyll代入式（2.14）则23LL2220023233133y()()dxqEI()dxq022xxxmLLLLL即3333Eqq0140ImLL二、图示四自由度系统,各质量块均为m，弹簧如图所示，阻尼均为c，作用激励F(t)，初速度和位移均为零：1.求系统固有频率和振型（图示）2.求传递函数H11、H12、H13、H14（实、虚、幅、相）并图示之（到最高固有频率的2倍）3.求系统响应x1、x2、x3、x4其中：m=10kg，k=490N/cm，c=2N·s/m，x1x2x3x4k2kk2kkm1m2m3m4cccccF(t)