事件的相互独立性(微教案)

浙江省金克勤网络名师工作室微教案黄建锋1第二章二项分布及其应用第二课时事件的相互独立性一、课时目标⑴理解两事件相互独立的概念及其几何直观意义。⑵学会运用两事件相互独立的定义检验两个事件是否相互独立。二、学习任务⑴理解一个事件的发生对另一事件发生概率大小没有影响或者PABPAPB来定义事件之间的相互独立性。⑵学会运用相互独立性定义来检验两个事件之间是否相互独立。三、教学过程学习任务一：⑴相互独立性是指一个事件的发生不影响另一个事件发生概率的大小，是用事件的概率来描述的。即当0PA时，有PBAPB，称事件B独立于A；此时当0PB时，有PABPA，亦即事件A独立于B。事件之间的独立性具有相互对称性质。问题1：能否用PBAPB作为事件A与事件B相互独立的定义呢？答：不行。原因是这个等式的适用范围是0PA，否则PBA无意义。⑵事件A与事件B相互独立是指PABPAPB，,AB是任意事件。①概率等于0的事件与任何一个事件都是独立的。特别地，不可能事件与任何一个事件独立。不妨设0PA，由于ABA，有00PABPA，则0PAB，PABPAPB，即此时对任意事件B，A与B是相互独立的。②必然事件与任何一个事件也是相互独立的。对于必然事件与任意事件B，PBPB，1P，因此PBPPB总是成立的，即必然事件与任何一个事件也是相互独立的。⑶用面积为1的矩形表示样本空间，用任一封闭曲线围成的图形表示事件，而把面积理解为相应的概率。条件概率PAB实际上可理解为仅限于B的范围考察A的概率。事件A独立于B，即PABPABPAPB，在几何上相当于A在B的那部分---AB，在B浙江省金克勤网络名师工作室微教案黄建锋2中所占的比例等于A在整个矩形中所占的比例。如图一而事件A与B互斥可以表示为图二。学习任务二：例题1：两对夫妇任意地排成一列，求每一个丈夫都排在他的妻子后面的概率。设计意图：充分利用独立性的概念可以使计算简单。解：记iA表示事件“第i对夫妇丈夫排在妻子的后面，我们就是要求12PAA。首先由对称性iPA12，因为对每一对夫妇来说，或丈夫在前或妻子在前，两者是等可能的。另外还可以进一步假设12,AA是相互独立的，因为不可能有任何理由可以断定某对夫妇丈夫与妻子的位置先后会影响别对夫妇丈夫与妻子位置的先后。所以有121214PAAPAPA。（附加题）n对夫妇任意地排成一列，求每一个丈夫都排在他的妻子后面的概率。解：记iA表示事件“第i对夫妇丈夫排在妻子的后面，我们就是要求12...nPAAA。首先由对称性iPA12，因为对每一对夫妇来说，或丈夫在前或妻子在前，两者是等可能的。另外还可以进一步假设12,,...,nAAA是相互独立的，因为不可能有任何理由可以断定某对夫妇丈夫与妻子的位置先后会影响别对夫妇丈夫与妻子位置的先后。所以有12121......2nnnPAAAPAPAPA。另解（古典概型）：排列的总数是2!n。首先把n个丈夫进行排列，共有!n中可能。然后让排在第一的那位丈夫的妻子插入队伍，她显然只有1种可能的位置，即排在最前面。接着让排在第二位的丈夫的妻子进入队伍，现在她的丈夫前面已有两人，因此她有3种位置可选择，依次下去，最后一位丈夫的妻子有21n个位置选择。因此，事件“每一位丈夫都排在他的妻子后面”的总数是!135...21!21!!nnnn，所以要求的概率是!21!!12!2nnnn。评注：通过对比使学生体会到事件之间的相互独立性在概率计算中有着非常重要的地位。ABABAB图一图二浙江省金克勤网络名师工作室微教案黄建锋3例题2：在有两个孩子的家庭中，假设生男孩和生女孩是等可能的。A表示“一个家庭既有男孩又有女孩”这一事件，B表示“一个家庭至多有一个女孩”这一事件，讨论A与B的独立性。解：对两个孩子的家庭来说，样本空间男，男，男，女，女，男，女，女，A男，女，女，男，,B男，女，女，男男，男，显然事件A与B不互斥，且AB男，女，女，男，有2142PA，34PB，PABPAPB，所以，A与B不相互独立。变式：把上例改为在三个孩子的家庭中，并且生男孩和生女孩是等可能的。,AB仍表示以上两事件，讨论A与B的独立性。解：：对三个孩子的家庭来说，样本空间=男、男、男，男、男、女，男、女、男，女、男、男，女、女、男，女、男、女，男、女、女，女、女、女，,A男、男、女，男、女、男女、男、男，女、女、男，女、男、女，男、女、女，,,B男、男、男男、男、女，男、女、男女、男、男，,AB男、男、女，男、女、男女、男、男，有6384PA，4182PB，38PAB，PABPAPB。所以，A与B相互独立。设计意图：要检验两个事件是否相互独立并非易事，仅仅凭直觉判断事件的独立性，是很容易犯错误的。事实上，事件之间的独立性与样本空间的选取有关系。四、课堂小结本节课主要学习了①事件之间相互独立性的概念；②学会了如何检验两个事件之间是否相互独立。作业做微练习