二元一次不等式1

1二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题[知识能否忆起]1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域：不等式表示区域Ax＋By＋C＞0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分(2)二元一次不等式表示的平面区域的确定：二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．2．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[小题能否全取]1.(教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为()A．2x－y－3＜0B．2x－y－3＞0C．2x－y－3≤0D．2x－y－3≥0解析：选B将原点(0,0)代入2x－y－3得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式为2x－y－3＞0.2．(教材习题改编)已知实数x、y满足x≥1，y≤2，x－y≤0，则此不等式组表示的平面区域的面积是()A.12B.14C．1D.18解析：选A作出可行域为如图所示的三角形，∴S△＝12×1×1＝12.23．(2012·安徽高考)若x，y满足约束条件x≥0，x＋2y≥3，2x＋y≤3则z＝x－y的最小值是()A．－3B．0C.32D．3解析：选A根据x≥0，x＋2y≥3，2x＋y≤3得可行域如图中阴影部分所示，根据z＝x－y得y＝x－z，平移直线y＝x，当其经过点(0,3)时取得最小值－3.4.写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是__________．答案：x≤0，0≤y≤1，2x－y＋2≥05．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，则所请工人数的约束条件是________．答案：50x＋40y≤2000，x∈N*，y∈N*1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．2．最优解问题如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可能有无数个．二元一次不等式(组)表示平面区域典题导入3[例1](2011·湖北)直线2x＋y－10＝0与不等式组x≥0，y≥0，x－y≥－2，4x＋3y≤20表示的平面区域的公共点有()A．0个B．1个C．2个D．无数个[自主解答]由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x＋y－10＝0恰过点A(5,0)，且斜率k＝－2＜kAB＝－43，即直线2x＋y－10＝0与平面区域仅有一个公共点A(5,0)．[答案]B由题悟法二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意：不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．以题试法1.(1)(2012·广东高考)已知变量x，y满足约束条件y≤2，x＋y≥1，x－y≤1，则z＝3x＋y的最大值为()A.12B.11C.3D.－1(2)在平面直角坐标系中，不等式组x＋y≥0，x－y＋4≥0，x≤a所表示的平面区域的面积是9，则a为________．解析：(1)可行域如图阴影部分所示.先画出直线l0：y＝－3x，平移直线l0，当直线过A点时z＝3x＋y的值最大，由y＝2，x－y－1＝0，得x＝2，y＝2∴A点坐标为(3,2).∴z最大＝3×3＋2＝11.(2)不等式组所表示的平面区域是如图所示的△ABC，且A(－2,2)，B(a，a＋4)，C(a，－a)，若a≤0，则有△ABC的面积S△ABC≤4，故a＞0，BC的长为2a＋4，由面积公式可得△ABC的面积S△ABC＝12(a＋2)·(2a＋4)＝9，解得a＝1.答案：(1)B(2)1求目标函数的最值典题导入4[例2](1)设x，y满足约束条件x－y≥－1，x＋y≤3，x≥0，y≥0，则z＝x－2y的取值范围为________．(2)(2012·广州调研)已知实数x，y满足x≥0，y≤1，2x－2y＋1≤0，若目标函数z＝ax＋y(a≠0)取得最小值时的最优解有无数个，则实数a的值为________．[自主解答](1)依题意，画出可行域，如图阴影部分所示，显然，当直线y＝12x－z2过点B(1,2)时，z取得最小值为－3；当直线过点A(3,0)时，z取得最大值为3，综上可知z的取值范围为[－3,3]．(2)画出平面区域所表示的图形，如图中的阴影部分所示，平移直线ax＋y＝0，可知当平移到与直线2x－2y＋1＝0重合，即a＝－1时，目标函数z＝ax＋y的最小值有无数多个．[答案](1)[－3,3](2)－1若本例(2)条件变为目标函数z＝ax＋y(a≠0)仅在点12，1处取得最小值，其它条件不变，求a的取值范围．解：由本例图知，当直线ax＋y＝0的斜率k＝－a＞1，即a＜－1时，满足条件，所求a的取值范围为(－∞，－1)．由题悟法1．求目标函数的最值的步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.(3)斜率型：形如z＝y－bx－a.注意：转化的等价性及几何意义．以题试法2．(1)(2012·揭阳期中)设z＝2x＋y，其中x，y满足x＋y≥0，x－y≤0，0≤y≤k，若z的最大值为6，则k的值为________；5z的最小值为________．(2)已知O是坐标原点，点A(1,0)，若点M(x，y)为平面区域x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则|OA＋OM|的最小值是________．解析：(1)在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x＋y＝6，结合图形分析可知，要使z＝2x＋y的最大值是6，直线y＝k必过直线2x＋y＝6与x－y＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k＝2；平移直线2x＋y＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直线在y轴上的截距达到最小，此时z＝2x＋y取得最小值，最小值是z＝2×(－2)＋2＝－2.(2)依题意得，OA＋OM＝(x＋1，y)，|OA＋OM|＝x＋12＋y2可视为点(x，y)与点(－1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1,0)向直线x＋y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(－1,0)的距离最小，因此|OA＋OM|的最小值是|－1＋0－2|2＝322.答案：(1)2－2(2)322线性规划的实际应用典题导入[例3](2012·四川高考)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元[自主解答]设每天分别生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，则x＋2y≤12，2x＋y≤12，x≥0，y≥0，z＝300x＋400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x＋400y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A(4,4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时z＝300x＋400y取得最大值，最大值是z＝300×4＋400×4＝2800，即该公司可获得的最大利润是2800元．[答案]C由题悟法与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题．如用料最省、获利最大等，其解题步骤是：①设未知6数，确定线性约束条件及目标函数；②转化为线性规划模型；③解该线性规划问题，求出最优解；④调整最优解．以题试法3．(2012·南通模拟)铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________百万元．解析：可设需购买A铁矿石x万吨，B铁矿石y万吨，则根据题意得到约束条件为x≥0，y≥0，0.5x＋0.7y≥1.9，x＋0.5y≤2，目标函数为z＝3x＋6y，画出不等式组表示的平面区域如图所示当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为zmin＝3×1＋6×2＝15.答案：15含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧，增加了解题的难度．参变量的设置形式通常有以下两种：(1)条件不等式组中含有参变量；(2)目标函数中设置参变量．[典例1]若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为()A．－1B．1C.32D．2[解析]可行域如图阴影所示，由y＝2x，x＋y－3＝0得交点A(1,2)，当直线x＝m经过点A(1,2)时，m取到最大值为1.[答案]B[题后悟道]由于条件不等式中含有变量，增加了解题时画图的难度，从而无法确定可行域，要正确求解这类问题，需有全局观念，结合目标函数逆向分析题意．整体把握解题的方向，是解决这类题的关键．针对训练71．(2012·“江南十校”联考)已知x，y满足x≥1，x＋y≤4，x＋by＋c≤0，记目标函数z＝2x＋y的最大值为7，最小值为1，则b，c的值分别为()A．－1，－4B．－1，－3C．－2，－1D．－1，－2解析：选D由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x＋y＝7和直线x＋y＝4的交点，经过直线2x＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，所以3＋b＋c＝0，1－b＋c＝0，解得b＝－1，c＝－2.[典例2](2012·深圳调研)已知变量x，y满足约束条件x－2y＋3≥0，x－3y＋3≤0，y－1≤0，若目标函数z＝y－ax仅在点(－3,0)处取到最大值，则实数a的取值范围为()A．(3,5)B.12，＋∞C．(－1,2)D.13，1[解析]如图所示，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线y－ax＝0，要使目标函数z＝y－ax仅在点(－3,0)处取到最大值(即直线z＝y－ax仅当经过该平面区域内