人教版高中数学必修一各章知识点总结

函数单调性u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减y=f[g(x)]增减减增新课标人教版高中数学(必修1)知识点导学一、集合:1.集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,每一个对象叫集合的一个元素。2.元素的三个特性:(1)确定性:对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定集合的元素,(2)互异性:任何一个给定的集合中,任意两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素,(3)无序性:集合中的元素是平等的,没有先后顺序,判断两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样,(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3.集合的表示:①列举法:把集合中的元素一一列举出来,用一个大括号括起来,元素与元素之间用逗号隔开,②描述法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法,①语言描述法:如:{不是直角三角形的三角形},②数学式子描述法:如:不等式x-32的解集是{xR|x-32}或{x|x-32}。4.集合的分类:(1)有限集:含有有限个元素的集合,(2)无限集:含有无限个元素的集合,(3)空集:不含任何元素的集合,如:{x|x2=-5}。5.集合间的基本关系:(1)包含关系(子集):AB有两种可能:①A是B的一部分,②A与B是同一集合,集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A,记作AB或BA,(2)相等关系(若5≥5且5≤5，则5=5),如:A={x|x2-1=0}与B={-1,1}相等,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,就说集合A等于集合B,即:A=B,①任何一个集合是它本身的子集,AA,②真子集:如果AB且AB,就说集合A是集合B的真子集,记作AB或BA,③若AB且BC,则AC,④若AB且BA,则A=B,(3)不含任何元素的集合叫空集,记为,规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。6.集合的运算:(1)交集:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合叫A与B的交集,记作A∩B(读作A交B),即A∩B={x|x∈A且x∈B},(2)并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫A与B的并集,记作A∪B(读作A并B),即A∪B={x|x∈A或x∈B},(3)交集与并集的性质:A∩A=A,A∩=,A∩B=B∩A,A∪A=A,A∪=A,A∪B=B∪A,(4)全集与补集:①补集:设S是一个集合,A是S的一个子集,即AS,由S中所有不属于A的元素组成的集合叫S中子集A的补集(余集或差集),记作:CSA,即CSA={xxS且xA},②全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,通常用U来表示,③性质:CU(CUA)=A,(CUA)∩A=,(CUA)∪A=U。二、函数概念及其性质:1.函数的概念:设A,B是两个非空数集,按照某个确定的对应关系f,使得对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x)(x∈A),x叫自变量,x的取值范围A叫函数的定义域,与x的值相对应的y值叫函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域,(1)若只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域是指能使这个式子有意义的实数的集合,(2)函数的定义域,值域要写成集合或区间的形式,(3)能使函数解析式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,(4)求函数定义域的主要依据:①分式的分母不为零,②偶次方根的被开方数大于或等于零,③对数式的真数大于零,④指数和对数式的底数大于0且不等于1,⑤如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合,⑥指数为零底数不等于0,⑦实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义,(5)函数三要素:定义域,对应关系和值域,①构成函数的三个要素是定义域,对应关系和值域,值域是由定义域和对应关系决定的,两个函数的定义域和对应关系完全一致,这两个函数是同一个函数,②两个函数相同当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关,(6)值域:①函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域,②熟练掌握一次函数,二次函数,指数函数,对数函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。2.函数图象:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x)(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫函数y=f(x)(x∈A)的图象,C上每一个点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),以满足y=f(x)的每一组有序实数对x,y为坐标的点(x,y)均在C上,记为C={P(x,y)|y=f(x),x∈A},图象C一般是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。3.区间:(1)区间的分类:开区间,闭区间,半开半闭区间,(2)无穷区间,(3)区间的数轴表示。4.映射:一般地,设A,B是两个非空集合,如果按照某一个确定的对应法则f,使得对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射,记作f:AB,给定一个集合A到B的映射,a∈A,b∈B且元素a和元素b对应,元素b叫元素a的象,元素a叫元素b的原象,函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A,B及对应法则f是确定的,②对应法则具有方向性,强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的,③映射f:A→B应满足:(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的,(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个,(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。5.分段函数:在定义域的不同部分上有不同的解析式的函数,在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的解析式,分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而应写出函数的几种不同解析式并用一个左大括号括起来,分别注明各部分自变量的取值范围,(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数,(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集。6.复合函数:若y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A),称f,g的复合函数,如:12xy,212logxy等。7.函数的单调性:(1)增减性:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),或当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数,区间D称为y=f(x)的单调增区间,如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),或当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数,区间D称为y=f(x)的单调减区间,函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质,(2)图象特点:函数y=f(x)在某个区间内是增函数或减函数,函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的(从右到左是下降的),减函数的图象从左到右是下降的(从右到左是上升的),(3)函数单调区间与单调性的判定方法:A.定义法:①任取x1,x2∈D且x1x2,②作差f(x1)－f(x2),③变形(通常是因式分解或配方),④定号(判断差f(x1)－f(x2)的正负),⑤下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性),B.图象法:从图象上看升降,C.复合函数的单调性:复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,规律如下表,函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集。8.函数的奇偶性:(1)偶函数:一般地,对于函数f(x)在定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),f(x)叫偶函数,(2)奇函数:一般地,对于函数f(x)在定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),f(x)叫奇函数,①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质,函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数,②由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称),(3)偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称,利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称,②确定f(-x)与f(x)的关系,③作出相应结论:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数,若f(-x)=-f(x)或f(-x)＋f(x)=0,则f(x)是奇函数,函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件,首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数,若对称再根据定义判定,有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定,利用定理或借助函数的图象也可以判定函数的奇偶性。9.函数解析式:(1)函数的解析式是函数的一种表示方法,求两个变量之间的函数关系时,一是求出它们之间的对应法则,二是求出函数的定义域,(2)求函数解析式的主要方法:待定系数法,换元法,消参法等,已知函数解析式的构造时,可用待定系数法,已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围,已知表达式较简单时,也可用凑配法,若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)。10.函数最大(小)值:①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值,②利用图象求函数的最大(小)值,③利用函数单调性判断函数的最大(小)值:若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减,则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b),若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增,则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)。三、基本初等函数:(一)指数函数:1.指数与指数幂:(1)根式的概念:一般地,如果axn,那么x叫a的n次方根,n1且n∈N*,当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,a的n次方根用符号na表示,式子na叫根式,n叫根指数,a叫被开方数,当n是偶数时,正数的n次方根有两个,它们是互为相反数,正数a的正的n次方根用符号na表示,负的n次方根用符号-na表示,正的n次方根与负的n次方根可以合并成±na(a0),负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0,记作00n。当n是奇数时,aann,当n是偶数时,(0)||(0)nnaaaaaa,(2)分数指数幂:*(0,,,1)mnnmaaamnNn,*11(0,,,1)mnmnnmaamnNnaa,零的正分数指数幂为0,零的负分数指数幂没有意义,整数指数幂的运算性质可以推广到有理数指数幂,(3)实数指数幂的运算性质:(1)rsrsaaa),,0(Rsra,(2)()rsrsaa),,0(Rsra,(3)()rrrabab(0,0,)abrR。2.指数函数及其性质:(1)指数函数的概念:一般地,函数)1,0(aaayx且叫指数函数,x是自变量,函数的定义域为R,(2)指数函数的图象和性质:654321-1-4-224601654321-1-4-224601向x轴正负方向无限延伸，函数的定义域为R，函数图象都在