二光纤传输基本理论

我们知道光有波粒二重性，就是说即可以将其看成光波，也可以将其看成是由光子组成的粒子流。因此，在描述光的传输特性时相应的也有两种理论，即波动理论和射线理论（几何光学方法）。前者描述起来比较复杂，需要麦克斯韦方程求解，但它可以精确的描述光的传播特性；后者描述起来比较简单直观，易于理解。二、光纤传输基本理论（1）几何光学射线法当光线芯径远大于光波波长时，可近似认为,从而将光波近似看成由一根光线所构成。因此，可以用几何光学的方法来分析光线的入射、传播(轨迹)，以及时延(色散)和光强分布等特性。优点：简单直观，在分析芯径较粗的多模光纤时可以得到较精确的结果；缺点：不能解释诸如模式分布、包层模、模式耦合，以及光场分布等现象。而且当工作波长于芯径可比较(单模光纤)，误差较大。000（2）波动理论法这是一种严格的分析方法，严格性在于：a.)从光波的本质特性－电磁波出发，通过求解电磁波所遵从的麦克斯韦方程，导出电磁场的场分布，具有理论上的严谨性。b.)未作任何前提近似，因此适用于各种折射率分布的单模光纤和多模光纤。几何光学方法波动理论法适用条件d~d研究对象光线模式基本方程射线方程波导场方程研究方法折射/反射定理边值问题主要特点约束光线模式分析思路•光纤传输基本理论的分析，主要是为光纤技术的应用奠定基础。分析手段上，首先，利用光线理论来分析光在光纤中的传播特性，并对光纤中的模式及其基本性质进行初步讨论；然后，用波动理论来进一步深入分析光纤中的导波场的特性，依据光纤波导的边界条件求解波导场方程，导出本征值方程，并根据导模的截止和远离截止条件对光纤中的模式特性进行详细讨论。基本理论涉及内容•光纤模式的激励(或光的入射)•光纤中的模式分布(或光纤传播轨迹)•模式的传播速度(或光线的时延)•模式沿光纤横截面场分布；•光信号的传输损耗；•光信号的畸变；•模式的偏振特性；•模式的耦合；麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程•光纤是一种介质光波导，这种波导有如下特点：a).无传导电流；b).无自由电荷；c).线性各向同性；则其中传播的电磁波遵从下列麦克斯韦方程：00//BDtBEtDH同时各量满足物质方程：HBED•光纤中电磁场传播的另一个重要特性是：两种介质交界处(光纤纤壁)处电磁场满足边界条件，即与的切向分量以及与的法向分量均连续，其数学表达式为EHDBttttttttDDBBHHEE21212121电磁场的规律是电场和磁场的交替变化，可以发现麦克斯韦方程中，一方面，既有电场的量，也有磁场的量；另一方面，既有空间坐标，又有时间坐标，两者相互影响。求解的基本思路，利用分离变量法进行电、磁矢量分离和时、空坐标的分离。分离变量•电矢量与磁矢量分离:波动方程，是只与电场强度E(x,y,z,t)有关的方程式及只与磁场强度H(x,y,z,t)有关的方程式；•时、空坐标分离:亥姆霍兹方程，是关于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式；•空间坐标纵、横分离：波导场方程，是关于E(x,y)和H(x,y)的方程式；•边界条件：在两种介质交界面上电磁场矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要连续。•电矢量与磁矢量分离：波动方程对麦克斯韦方程第2式取旋度，并利用矢量关系，可得00//BDtBEtDHHBEDEDDDEEEE112可得到只与电场强度有关的方程式E12222tEEE•同样的过程对麦克斯韦方程的1式进行处理，可以得到只与磁场强度有关的方程式(2-1)式与(2-2)式称为矢量波动方程，这是一个普遍适用的精确方程。但在光纤中，折射率(或介电常数)的变化非常缓慢(1μｍ的距离上折射率变化小于)，因此可近似认为。矢量波动方程化简为下述标量波动方程H22222tHHH4104032222222tHHtEE光纤中的一般问题均可用标量波动方程解决。•时、空坐标分离：亥姆霍兹方程如果在光纤中传播的是单色波，即电磁波具有确定的振荡频率f，角频ω=2πｆ，则可时、空坐标分离，令式中，可代表和的任一分量。tiezyxtzyx,,,,,EH再将上式代入标量波动方程(2-3)式，可得420,,,,22zyxzyx这就是亥姆霍兹方程，该方程对任何电磁波的传播都适用。加上边界条件后，即可求出任意波导结构中光波场的场分布。•空间坐标纵、横分离：波导场方程亥姆霍兹方程有一个重要的特征：拉普拉斯算符作用在函数上的结果等于该函数与一常数的乘积。这一类方程在数学上称为本征方程，常数ｋ称为本征值。因此，波动理论的实质是对于给定的边界条件下求本征方程的解－本征解及其对应的本征值，数学上称为本征值问题。222k•光纤波导中，电磁波在纵向(轴向)以“行波”的形式存在，在横向以“驻波”的形式存在。其特征是：场分布沿轴向的变化只体现在相位上，场强度不随轴向传播距离而变化(假设光纤中无模式耦合，也不存在损耗与增益)。若数学处理上，规定光纤轴向为z方向，则场分布与z坐标的关系可用指数形式表示为，可进一步对亥姆霍兹方程进行空间坐标纵、横分离，令zjezieyxzyx,,,•上式代入亥姆霍兹方程(2-4)式，得式中，是横向拉普拉斯算符，与分别是横向与纵向传播常数。(2-5)式中的可以分别代表和的横向场分布，即有上式就是光纤波导中光传播时遵从的波导场方程。这是波动理论方法的最基本方程。显然，它也是一个典型的本征方程。当给定波导的边界条件时,求解波导场方程可得本征解及相应的本征值。通常将本征解定义为“模式”.520,,,,2222222yxyxyxyxzt2tyx,EH620,,,,22yxHyxEyxHyxEt•模式和基本特征a)每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波;b)每一个模式对应于某一本征值并满足全部边界条件;c)模式具有确定的相速群速和横场分布.d)模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。给定的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的,外界激励源只能激励起光波导中允许存在的模式而不会改变模式的固有性质。模式场分量与纵横关系式模式的场矢量和具有六个场分量:和(或和)。只有当这六个场分量全部求出方可认为模式的场分布唯一确定。但实际上这并不必要。因为场的横向分量可由纵向分量和来表示.（通过将麦克斯韦方程在相应坐标系中按分量形式展开比较后就可以得到模式各分量间的关系）zyxE,,zyxH,,zyxEEE,,zyxHHH,,zrEEE,,zrHHH,,zEzH模式命名•根据场的纵向分量Ez和Hz的存在与否,可将模式命名为:(1)横电磁模(TEM):Ez＝Hz＝0;(2)横电模(TE):Ez＝0,Hz≠0;(3)横磁模(TM):Ez≠0,Hz＝0;(4)混杂模(HE或EH):Ez≠0,Hz≠0。•光纤中存在的模式多数为HE(EH)模,有时也出TE(TM)模。•模式分析的基本参数a)场分布场分布就是指六个场分量和它们是波导场方程满足条件条件的本征解；、b)纵向传播常数纵向传播常数即与本征解对应的本征值β，其意义是导模的相位在z轴单位长度上的变化量，也就是β是K在z轴上的投影。导模β的值是分立的，每一个β值代表着一个导模(有时几个导模具有相同的β值，称之为“简并”)。zyxEEE,,zyxHHH,,•C)横向传播常数横向传播常数即波矢K的横向分量这里，j取1和2分别对应于纤芯和包层。纤芯中，，为实数；在包层中，，为虚数。为方便起见，定义三个实参数U，W和b01kn102kn22,12202jknjj222110222220222220222221020UnkWinknkWbVnknk•上式中，b在0和1之间取值，称为场的归一化常数；•U和W是场的横向传播常数；•U反映了导模在芯区中的驻波场的横向振荡频率；•W值则反映了导模在包层中的消逝场的衰减速度，其值越大衰减越快。•还可以看到U，W和V满足如下关系222WUV•归一化频率模式分析时的一个重要参量：光纤的归一化频率V包含了光纤的结构及光波的工作波长，它是一个直接与光的频率成正比的无量纲的量。光纤的很多特性与之都有关。它定量表示了光纤支持横模的能力。221022210anknnaV•V越大，允许存在的导模数就越多。所谓导模“截止”，是指除基模外，其他导模都可能在某一V值下不允许存在，这时导模转化为辐射模。而使某一导模截止的频率值，称为导模的“截止条件”。•当导模的本征值时，导模场紧紧束缚于纤芯中传输，称之为导模“远离截止”。每一个导模都对应于一合适的V值使其远离截止，称之为导模的“远离截止条件”。•直观的理解：光纤包层中出现辐射模，则导波“截止”，不出现辐射模，则导模“远离截止”。01kn•程函方程与射线方程从亥姆霍兹还可以导出几何光学理论的基本方程－程函方程和射线方程,它描述光线在任意光纤波导中传播的光线轨迹。需要说明的是，光学发展史上，几何光学基本概念的形成，包括直线传播，以及反射、折射等，都远远早于光学的波动理论。程函数方程也完全可以从费马原理得到，而不必借助麦克斯韦的电磁波理论。为说明方法的统一性和理论的自洽性，可以从波动理论推导出几何光学的基本方程。需要注意的是，几何光学理论物理概念清晰，易于理解，但仅仅是波动理论的零波长近似，其结果仅适用于多模光纤，不适合单模光纤。•几何光学中，光线定义为等相面的法线。一般情况下，麦克斯韦的试探解可以写成振幅与相位的形式上式中和都是位置的函数，而则称为光程函数，把这个表达形式代入麦克斯韦方程后，可以得到rjkrHHrjkrEE0000expexp00000000000000020lnHkjHkjEHkjHEkjHEHkjEnHrE0rH0r•根据光线理论的几何光学近似条件，这里我们感兴趣的是电磁波的波长趋于零或频率趋于无穷的情况，即。在这种短波长极限下，我们可以把上式右边的项忽略，从而得到把上述方程组的(2)式代入(1)式，并利用矢量恒等式，可以得到又因为电场振幅矢量不能处处为零，因而必有这就是程函方程，它描述了光程函数的变化，是几何光学中的基本方程。00,0k00000000020EHHEEnH0020EnE0E22n•上述程函数方程，当已知折射率分布，就可以得到光程函数，并进而可由下式确定等相位面于是就确定了光线轨迹，因为光线定义为等相位面的法线方向。•用几何光学研究光的传播问题，最直观的还是对光线这一概念的操作，希望能够直接确定光线轨迹的数学表达式。constr•考察右图所示的光线轨迹图。其轨迹用光线上各点到参考点的矢径r表示，则光线的轨迹上任意一点的方向为这一点的切线方向，其单位矢量为另一方面，垂直于等相位面，所以与平行,所以又有联立上两式，同时由程函方程得，则再将上式两边对S求导，对右式交换求导顺序，再利用程函方程，可得这就是折射率分布为n的媒质中光线传播的路径方程(射线方程)。rdrzxyr+dr路径dsdrn