二十四节气表与开普勒运动定律

二十四节气表与开普勒运动定律二十四节气是中华民族的伟大创造，它是按照太阳在黄道上的位置来划分的。将太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点。从这里出发，每前进15°（也就是地球绕太阳自西向东旋转15°）就为一个节气。从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等等。地球绕太阳运行一周后就又回到春分点，此为一回归年（365.2422日），合360°，因此分为24个节气。两分两至刚好相差90°，如从春分开始的那一刻至夏至开始的那一刻，地球绕太阳旋转90°。最为普通民众熟悉的二十四节气为二分二至，即春分3月20或21日，夏至6月21或22日，秋分9月23或24日，冬至12月21或22日。每年的二十四节气的交节时间不一样，如2014年立春时刻为2月4日06︰03︰15，春分时刻为3月21日00︰57︰06；而2013年的立春时刻为02月04日00:13:25，春分时刻为03月20日19:01:55。下表为2013年二十四节气交节时间表立春02月04日00:13:25雨水02月18日20:01:35惊蛰03月05日18:14:51春分03月20日19:01:55清明04月04日23:02:27谷雨04月20日06:03:18立夏05月05日16:18:09小满05月21日05:09:30芒种06月05日20:23:19夏至06月21日13:03:56小暑07月07日06:34:36大暑07月22日23:55:58立秋08月07日16:20:21处暑08月23日07:01:41白露09月07日19:16:16秋分09月23日04:44:08寒露10月08日10:58:29霜降10月23日14:09:48立冬11月07日14:13:52小雪11月22日11:48:06大雪12月07日07:08:31冬至12月22日01:10:59小寒01月05日12:33:37大寒01月20日05:51:42本文以上表为基础，探寻二十四节气背后隐藏的秘密。为什么每年的二十四节气的交节时间不一样呢？这是因为地球公转一周的时间不是365天，而是365.2422日。以立春为例，2013年的立春时刻为02月04日00:13:25。因为地球公转一周的时间不是365天，而是365.2422日，所以当地球再回到立春点时，时间就不再是2014年02月04日00:13:25，而是2014年2月4日06︰03︰15。各节气的开始日期均有“或”字（由于节气与节气间是无缝交节的，一个节气开始的时刻即为另一个节气结束时刻，故每个节气结束的日期也都有“或”字），这是为什么呢？原因还是因为地球的公转周期不是365日，而是365.2422日。假设某年的春分时刻在3月20日一点十一分，如果地球的公转周期为365天，那么这一年后的每一年的3月20日一点十一分，地球都会回到春分点的位置。也就是说，自那以后的每年的春分日就都是3月20日一点十一分了。由于实际中地球的公转周期不是365日，而是365.2422日，故而地球绕着太阳转了365日后就只能回到离春分点还差那么一点点的地方。要回到春分点，地球还需前行0.2422日。这样累积4年，再回到春分点，就不再是3月20日，而是3月21日了。也许有人会说，照上述的推定，如果在第四个年头设置闰年，那不就可保证春分日还在3月20日吗？那为何实际中设置闰年了却也无法消除二十四节气表中的“或”字呢？原因仍然是地球的公转周期为365.2422天。由于地球的公转周期为365.2422天，因此每400年要设置97个闰年。这就导致了某些跨世纪年间前后加起来要八年才有一个闰年。这也就使得即使设置闰年也无法消除“或”字。打个比方，假定1896年的春分时刻为3月20日凌晨5︰30，那由每年春分时刻都会晚上0.2422天可推知，1900、1901等年的春分日就必然被移至到了3月21日。即使1896年的春分时刻不是3月20日5︰30，而是其它时刻，如凌晨0︰01，由于0.2422×7＞1，1897至1903年中也必然会有某些年份春分日在3月21日。若地球的公转周期为365.25日，也就是说恰好四年一闰，那是否可去掉“或”字呢？假定某闰年的春分时刻为凌晨5︰30，那春分日的“或”字显然可以去掉。但即使如此，也很难保证所有的二十四节气都无“或”字。这是因为地球是在椭圆轨道上运动，其角速度时刻改变，这就导致了各节气开始的时刻不可能刚好相差整数天。对于那些在闰年时开始时刻晚于凌晨6点的节气，它们的开始日期上必然会带上“或”字。这也就是说，由于地球公转时的角速度是变化的，故而只要地球的公转周期不是整数日，那就不可能做到所有的节气的开始日期无“或”字。春分至秋分，为北半球的夏半年；秋分至下一年的春分，为北半球的冬半年。由2013年二十四节气交节时刻表和2104年春分时刻可推知，2013年北半球夏半年长186天9时42分13秒，冬半年长178天20时12分58秒，即夏半年比冬半年长7天13时29分15秒。为何都是半年，或者说，都是绕日旋转180°，为何时间长短却不一样呢？这是因为地球的公转不是均匀的，离太阳较远时转得要慢一些，离太阳较近时转得要快一些。由开普勒第一定律可知，地球是沿椭圆轨道绕日公转的，太阳位于椭圆的一个焦点上。由开普勒第二定律可知，地球离太阳较远时角速度较小，离太阳较近时角速度较大。两者结合起来可推知，在一般情况下，地球在相同的时间内公转绕日转过的角度并不相同，转过相同的角度用时也不相同。由夏半年长冬半年短并结合椭圆的对称性可推知，总的说来，夏半年内地球离太阳较远，冬半年内地球离太阳较近，且地球经过远日点的时刻一定在夏半年内，经过近日点的时刻一则定是在冬半年内。地球在每年的什么时候经过远日点，什么时候经过近日点呢？要从2013年二十四节气的交节时刻表推断出经过远日点和近日点的具体时刻，就需从表中的数据导出地球公转过程中转过的角度随时间变化的函数（这需先求解应用开普勒第二定律建立的一转过的角度对时间的微分方程。），再在此基础上求角速度变化率的极值。在这里仅简单地推断一下，地球在哪个节气经过远日点，在哪个节气经过近日点。因为地球在每个节气内绕日旋转的角度均为15°，故由椭圆的对称性和开普勒第二定律可知，哪个节气耗时最长，地球就在哪个节气内通过远日点；哪个节气耗时最短，地球就在哪个节气内通过近日点。由表可知，夏至耗时最长，冬至耗时最短，故地球在夏至这个节气内通过远日点，冬至这个节气内通过近日点。比较夏至与冬至前后两个节气的时长，还可进一步地推断出过远日点与近日点的时间是在这两个节气的前半段还是后半段。若能用图像（可用横坐标表示时间，纵坐标表示转过的角度）来处理表中的数据，那就可以得到更精细一点的结果。附：我根据从网上下载的2013至2020八年的二十四节气表计算出了这八年中各个节气的时长。计算结果表明，这八年中冬至用时均最短，小寒次之（约比冬至长6小时左右），大雪又次之（约比小寒长30分左右）。由此可推断，这些年份地球都是在冬至这个节气的后半段通过近日点；这八年中除14、19两年小暑比夏至略长三四分钟外，其余年份都是夏至用时最长，小暑次之，芒种排第三。由此可断定，除14、19两年外，其它六年中地球都是在夏至这个节气的后半段通过远日点。从这八年的二十四节气表还可看出，同一节气在不同年份时长会略有不同。其原因也许是因为除太阳外，其它天体的引力也会影响对地球的运动。后记：2005年教科学，第一次在浙江版第二册科学书上看到二十四节气表。当时就想，为什么每个节气开始的日期都有“或”呢？因为之前在闰年的教学中，曾引导学生讨论过如果不设置闰年，每年都以365天计，会怎样？如果公转周期为365.2或365.3天等，应该如何设置闰年？等一系列问题（这一系列问题我开始并没有打算讲，后来抱着试一试的想法提了一下。一试就发现，这些问题并没有我们想像的那么难，结合公转示意图，相当一部分初中生都能弄明白，而且大部分学生对这类问题也特别感兴趣。）。因为有此基础，所以我很快就弄明白了为何会有“或”字。仔细看教材上的表，从春分3月20或21日，夏至6月21或22日，秋分9月23或24日，冬至12月21或22日，不难推测出夏半年比冬半年要长（我在当时是这样估计的：假定两分两至均无“或”，且开始时刻相同。若均取二分二至中的较小的日期，且不考虑闰年，则夏半年共6个月零3天，其中跨有4个31号，2个30号；冬半年共6个月欠3天，其中跨有3个31号，2个30号，一个28号。这样随便一估计就发现，夏半年比冬半年约长9天。）。这又是为什么呢？结合课本上的公转图，很快就弄明白了原因。2013年，在校园内散步，无意中听到学生读“两小儿辩日”一文，再次引发了我对二十四节气的兴趣。上网一搜，居然搜到2013年二十四节气的交节时刻表。我想，由此时刻表应当可以大致推定出每年地球通过近日点与远日点的时刻。于是拿起笔来粗略地算了算。算出结果后与网上查到的日子相印证，发现差不多，便写了此文。