二有限元分析的基本过程

二有限元分析的基本过程1单元有限元-连续体的离散化，将整体结构分割为若干基本单元，每个单元有若干节点。单元中的基本物理量(结构分析-位移；热分析-温度；电磁分析-电位势，磁通量；流体分析-流量，等)用单元节点处的值表示，可以写为：{u}=[P]{ue}其中：{u}-单元中任意点的物理量值，它是坐标的函数：{u}={u(x,y,z)}[P]-形状函数，与单元形状、节点坐标和节点自由度等有关{ue}-单元节点的物理量值；对于结构位移法可以是位移、转角或其对坐标的导数。常用的大型分析软件中基本上是位移+转角。结构分析时一些常用单元的节点自由度(在单元坐标系中)杆元：单元形状为线段，变形形式为拉伸和扭转。在单元坐标系中：节点自由度为Tx和Rx，其中x为杆的轴线。在总体坐标系中：三个位移和三个转角(T1,T2,T3,R1,R2,R3)。梁元：单元形状为线段，变形形式为拉伸、扭转，以及两个垂直于轴线方向的弯曲在单元坐标系中：节点自由度为Tx,Ty,Tz,Rx,Ry,Rz。其中x为梁的轴线，Y,z为梁截面的两个抗弯惯矩主轴方向。在总体坐标系中：三个位移和三个转角(T1,T2,T3,R1,R2,R3)。平面单元：三角形或四边形，变形为两个面内位移。节点自由度为T1,T2。单元坐标系与总体坐标系一致。轴对称单元：三角形或四边形，变形为两个面内位移。节点自由度为T1,T2。单元坐标系与总体坐标系一致。板壳元：三角形或四边形，变形包括两个面内位移，法向位移及两个转角(一般缺少绕法线转角)。在单元坐标系中：三个位移和三个转角(Tx,Ty,Tz,Rx,Ry)在总体坐标系中：三个位移和三个转角(T1,T2,T3,R1,R2,R3)三维实体：四面体～六面体，三个方向的位移，无转角。节点自由度为三个位移(T1,T2,T3)，单元坐标系与总体坐标系一致。结构分析时一些特殊单元为了表征结构分析中遇到的一些特殊现象，多数CAE软件中都引入了一些特殊的单元，例如：弹簧单元-模拟拉压或弯扭弹簧连接阻尼单元-模拟阻尼器等结构件质量单元-用于处理集中质量接触单元-用于处理接触非线性问题间隙单元-用于处理接触非线性问题拉索单元-用于模拟只受拉不受压的线结构各种连接单元-用于模拟结构件之间的不同连接方式，如铰接、刚性连接等刚体单元-将结构的某一部分处理为刚体，可减小计算模型的规模等单元形状函数举例(未必是实际使用的单元)：(1)一维单元a.杆单元轴向拉伸和扭转：节点位移自由度为Tx，Rx对2节点单元(线性单元)：Tx=a0+a1*xRx=b0+b1*x各有2个未知数，可以由2个节点的位移值确定；对3节点单元(二次单元)：Tx=a0+a1*x+a2*x2Rx=b0+b1*x+b2*x2各有3个未知数，可以由3个节点的位移值确定；b.梁单元拉伸和扭转的形状函数与杆的情况相同；对于弯曲变形(以单元坐标系y向为例)，2节点单元相应的形状函数为：Ty=c0+c1*x+c2*x2+c3*x3由两个节点的Ty,Rz可以确定四个未知数；对于3节点单元：Ty=c0+c1*x+c2*x2+c3*x3+c4*x4+c5*x5由3个节点的Ty,Rz可以确定6个未知数；(2)二维单元a.平面单元(平面问题，轴对称问题)，以Tx为例三节点三角元：Tx=a0+a1*x+a2*y三个未知数可以由三个节点的Tx表示；6节点三角元：Tx=a0+a1*x+a2*y+a3*x2+a4*xy+a5*y26个未知数可以由6个节点的Tx表示；4节点四边形元：Tx=a0+a1*x+a2*y+a3*xy4个未知数可以由4个节点的Tx表示；8节点四边形元：Tx=a0+a1*x+a2*y+a3*x2+a4*xy+a5*y2+a6*(x3+xy2)+a7*(x2y+y3)8个未知数可以由8个节点的Tx表示；上面使用的简单多项式，对于4节点或8节点四边形(特别是使用简单多项式的8节点单元，三次项缺失较多)，使用效果往往不好。实际使用的是等参数单元，通过曲线坐标变换，将任意三角形或四边形变换为等参数坐标系中的正三角形或正方形。然后用“内插函数”来构造形状函数。(2)二维单元(续)b.弯曲单元(板、壳问题)平面内的变形与平面问题相同，主要考虑法向弯曲变形-Tz，每个节点有三个弯曲自由度：Tz,Rx,Ry(法向位移和两个转角)。三节点三角元：Tz=a0+a1*x+a2*y+a3*x2+a4*xy+a5*y2+a6*x3+a7*(x2y+xy2)+a8*y39个未知数可以由三个节点的Tz,Rx,Ry表示。这是一个不完整的三次多项式，实际使用的是完整的三次多项式，然后添加约束条件消除多出来的一个未知数。4节点四边形元：Tz=a0+a1*x+a2*y+a3*x2+a4*xy+a5*y2+a6*x3+a7*x2y+a8*xy2+a9*y3+2个四次项12个未知数可以由四个节点的Tz,Rx,Ry表示。这是一个不完整的四次多项式，效果较差，实际使用的是等参数单元。同样可以构造高阶单元(6节点三角元、8节点四边形单元)。(3)三维实体单元每个节点三个自由度：Tx,Ty,Tz，一般情况，单元坐标系x,y,z与总体坐标系X,Y,Z相同。a.四面体单元(以Tx为例)4节点单元：Tx=a0+a1*x+a2*y+a3*z四个未知数由四个节点的Tx确定。10节点单元(增加6个边的中点)：Tx=a0+a1*x+a2*y+a3*z+a4*x2+a5*y2+a6*z2+a7*xy+a8*yz+a9*zx10个未知数由10个节点的Tx确定。b.六面体单元(以Tx为例)8节点单元(直观的例子，实际用等参数单元)：Tx=a0+a1*x+a2*y+a3*z+a4*x2+a5*y2+a6*z2+a7*(xy+yz+zx)8个未知数由8个节点的Tx确定。20节点六面体单元：使用完整的三次多项式，共20个未知数，由20个节点的Tx确定。实际中使用的是等参数单元。理论上，计算结果应该随着网格的细化而收敛到精确值。但实践发现，单元的形状函数对其计算结果和收敛性有较大影响。经数学界研究发现，单元的构造必须满足相容性(协调性)和完备性要求，才能保证计算结果的收敛性。(1)单元的完备性要求：对一般的多项式形式的单元形状函数，必须是与所解决问题的应变-位移关系式中的最高阶导数相同阶数的完整多项式。与应变-位移关系式中的最高阶导数相同阶数的多项式，在应变-位移关系式中微分后得到常应变项。因此，如果该多项式不完整，就会丢失某些常应变项，导致结果不准确。这一条可以归结为：位移函数必须包含全部刚体位移和常应变项。(2)单元的相容性(协调性)要求：单元的位移函数必须包含所解决问题的应变-位移关系式中的最高阶导数低一阶的连续性。即，在相邻单元的边界上，该导数必须连续。如一般弹性问题(平面问题、轴对称问题和三维弹性问题)，其“应变-位移”关系式中只包括位移对坐标的一阶导数，只要求在单元边界上位移连续。因此其位移形状函数只要包含坐标的一次多项式即可(Tx=a0+a1*x+a2*y+a3*z...)。对板弯曲问题，应变-位移关系式包含位移对坐标的二次导数，在单元边界上需要位移和转角都连续，因而板弯曲单元的节点自由度至少需要三个自由度：Tz,Rx,Ry。这也造成了难以构造简单而又满意的板弯曲单元。在满足相容性(协调性)要求的情况下，随着网格的细化，结果是单调收敛的。如果只满足完备性，而不满足相容性(如板弯曲问题)，解有时也能收敛，但一般不是单调收敛。2单元特性的推导(略)3单元组集将所有单元的应变能求和，得到整个结构的应变能：U=SUe=1/2{u}T[K]{u}其中{u}是整个结构所有节点的总体位移自由度按顺序排列所成,称为结构位移矢量；[K]是将各单元的刚度矩阵对应相同总体自由度的元素叠加后得到。考虑两个杆单元的情况(下页图)，各单元的节点位移矢量和单元刚度矩阵用总体自由度序号表示如下：在计算整个结构的应变能时，将两个单元刚度矩阵中具有相同下标的元素进行求和，例如K4,4~K4,6、K5,4~K5,6、K6,4~K6,6，从而得到整个结构的刚度矩阵。如果单元中作用有外力，可以根据静力等效原理把它们分配到单元的节点上：然后可以求出节点外力在节点位移上所做的功：V=[F]{u}其中[F]为所有节点的外力矢量(每个节点三个分量)，{u}为所有节点的位移矢量(每个节点三个分量)。然后，根据最小势能原理，真实位移应该使总势能取极小值：总势能为：P=U-V=1/2{u}T[K]{u}-[F]{u}对{u}取极值，即总势能对{u}的一次导数为零：由此得到：[K]{u}-{F}=0或[K]{u}={F}这就是待求解的有限元代数方程。由于将复杂的微分方程转换为有限个数的代数方程，从而使问题的求解变得容易。不过，现在还不能马上求解，因为数学上已经证明，没有约束的结构的刚度矩阵是一个奇异矩阵(行列式为零)，从物理上来说，即存在刚体运动，及时很小的外力也能够造成无穷大的位移。为了求解，必须对结构施加足够的约束以消除所有可能的刚体运动。常用的约束条件有：指定节点位移(通常是零)；弹性约束(弹性地基)等。缺乏足够的约束常常是求解失败的主要原因之一。在约束自由度上会产生约束反力，对于结构而言，约束反力也是一种外力，以{R}表示约束反力，整个结构的方程可以写成：[K]{u}={F}+{R}其中反力{R}仅在约束自由度上不为零。对整个结构的位移自由度重新排序，将已知位移自由度放到最后，分别以下标f和r代表未知和已知的自由度，则有：展开后分解为两个方程：[Kff]{uf}={Ff}[Krf]{uf}+[Krr]{ur}={Fr}+{R}第一个方程用来求解未知的位移自由度，第二个方程改写为：{R}={Fr}-[Krf]{uf}-[Krr]{ur}用来计算约束反力。在求出整个结构的节点位移后，可以回到各单元，计算单元的应力、应变等其它所需的物理量(通常称为数据恢复)。至于节点应力、应变等物理量，通常用与节点相邻的单元的平均值代表。