二次函数与一元二次方程的关系.

我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用..2422,1aacbbx有两个不相等的实数根方程时当00,0422acbxaxacb:00,0422有两个相等的实数根方程时当acbxaxacb.22,1abx没有实数根方程时当00,0422acbxaxacb.4..004222acbacbxaxacb即来表示用根的判别式的叫做方程我们把代数式一元二次方程根的情况与b²-4ac的关系问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成300角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？（4）球从飞出到落地需要用多少时间？xy1520（m）（t）0132420·5（2，20）解：（1）解方程15=20t-5t²t²-4t+3=0t=1，t=3.当球飞行1s和2s时，它的高度为15m。12ht（2）解方程20=20t-5t²t²-4t+4=0t=t=2.当球飞行2s时，它的高度为20m。122（4）解方程0=20t-5t²t²-4t=0t=0，t=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s飞出，4s时落回地面。（3）解方程20.5=20t-5t²t²-4t+4.1=0∵（-4）²-4*4.1＜0，∴方程无实数根1从上面可以看出，二次函数与一元二次方程关系密切．一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c深入讨论一元二次方程ax2+bx+c=0例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3的值为0，求自变量x的值．从以上可以看出,已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的值，就是求相应一元二次方程的解.例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变量x的值.就是求方程3=-X2+4x的解,例如,解方程X2-4x+3=0就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量x的值.一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)观察:下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,公共点横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?由此,你得出相应的一元二次方程的解吗?(1)y=x2+x-2(2)y=x2-6x+9(3)y=x2-x+1二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?y=x²-6x+9Y=x²+x-2Y=x²-x+1xy（1）设y=0得x2+x-2=0x1=1，x2=-2∴抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，公共点的横坐标分别是1和-2，当x取公共的的横坐标的值时，函数的值为0.（2）设y=0得x2-6x+9=0x1=x2=3∴抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，公共点的横坐标是3当x取公共点的横坐标的值时，函数的值为0.（3）设y=0得x2-x+1=0∵b2-4ac=（-1）2-4*1*1=-3＜0∴方程x2-x+1=0没有实数根∴抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点Y=x²+x-2Y=x²-x+1y=x²-6x+9xy（-2、0）（1、0）简单运用答案：（1）A（-1，0），B（4，0）；（2）x=-1或4；（3）x=-1或4；（4）方程的解就是二次函数的交点的横坐标。22222,y=x-3x-4,:(1)xABA(,),B(,).(2)x=(),y=x-3x-4y=0.(3)x-3x-4=0.(4)x-3x-4=0y=x-3x-4?如图的图象回答问题二次函数的图象与轴的交点、的坐标分别是当时函数的值求方程的解方程的解与二次函数的交点的横坐标之间有什么关系2y=x-3x-4变式训练22690,30xxxx观察下列图象，分别说出一元二次方程的根的情况。21226903.30.xxxxxx答案:方程的解是方程无实数根269xxy=23xxy=例题精析21:1.1mx(2)m.,.ymxxxm若函例已知二次数的图象与轴有交点求的取函数当为何值时，函数的图象轴有两个交点？(3)当函数的图象与x轴相切时,求的范围取值范围值:1(1);41(2)0;41(3).4mmmm答案且]x[由二次函数的图象与轴的交点的个数与其所对应的一元二次方程的根的个数的关系，来确定的取值范围,进而求出m的取值范围。(1)有两个交点0;(2)有交点0;(3)相切只有解析一个交点=0.小试牛刀答案：（1）△＞0，函数的图象与x轴有两个交点；（2）△＝0，函数的图象与x轴有一个交点；（3）△＜0，函数的图象与x轴没有交点。22.(1)(1)1ymxmx若函数的图象与x轴只有一个公共点,求m的值.22212:(1)1,(1)10,(1)4(1)01,3.10,1,3.mxxmxmmmmammm解析二次函数y=(m+1)x的图象与轴只有一个公共点方程(m+1)x有两个相等的实数根即解之得又的值为2221.,(1);(2)69;(3)3611.xyxxyxxyxx试判断下列各函数的图象与轴有没有公共点并说明理由。要点小结一般地，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时自变量x的值，也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。可由一元二次方程的根的判别式来判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题。在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程。判别式：b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根xyO与x轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0）有两个不同的解x=x1，x=x2b2-4ac＞0xyO与x轴有唯一个交点)0,2(ab有两个相等的解x1=x2=ab2b2-4ac=0xyO与x轴没有交点没有实数根b2-4ac＜0)43,21(第四象限第三象限　　　　第二象限第一象限　　　　　　　的顶点在抛物线则没有实数根的一元二次方程关于顶点坐标为则其顶点经过原点抛物线个个　　　Ｄ．个　　　Ｃ．个　　　　　　轴的交点个数有与抛物线....).(,0)3(.__________,33)2(321.0.).(32)1(22222DCBAnxynxxmxmyBAxxyxxmxxCA(4)已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax+bx+c=0的解是.XY0522(5)若抛物线y=ax2+bx+c,当a0,c0时,图象与x轴交点情况是()A无交点B只有一个交点C有两个交点D不能确定CX1=0，x2=5(6)如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.(7)已知抛物线y=x2–8x+c的顶点在x轴上,则c=＿＿＿＿.1116(8)一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2,x2=5/3,那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿.（-2、0）（5/3、0）（9）根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是()A3X3.23B3.23X3.24C3.24X3.25D3.25X3.26x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C练习：1、抛物线y=x2-x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是。2、如果关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有个交点。3、抛物线y=x2-kx+k-2与x轴交点个数为（）A、0个B、1个C、2个D、无法确定m《1I4一C思维迁移22212222.(2010),23023,230,1,3.23::13230:13.xxxxxyxxxxxx例漳州阅读材料解答问题:例:用图象法解一元二次不等式x.解:设y=x则y是x的二次函数.a=10,抛物线开口向上.又当y=0时,x解得抛物线x的大致图象如图所示观察图象可知当或时,y0.x的解集是或(1)观察图象,直问题:接写出一22230;(2),10().x元二次不等式x的解集仿照上例用图象法解一元二次不等式x画大致图象即可223xy=x 1[]2本题要求通过对所给材料的阅读自学,运用二次函数图像的增减性（旧知识）来解决一元二次不等式（新知识）。问题（）据已知的图像就可得:x轴上方y0；x轴上y=0；x轴下方y0.问题（）需依照例子,画出图像，再据图像性解析质得出。2212212  11? xx解：（）-1x3．（）设y=x-1，则y是x的二次函数．a=10,抛物线开口向上．又当y=0时，x-1=0，解得x=-1,x=1．由此得抛物线的大致图象如图所示:观察函数图象可知：当x-1或时，x-1的解集是：x-1或．2y=x-1基础过关2221xA.3B.2C.1D.02.A.aB.c.D.abc0Cb．在平面直角坐标系中，抛物线y=2x-x-3与轴的交点的个数是()已知二次函数y=ax+bx+c(a0)的图象如图所示，则下列结论正确的是()＞0＜0-4ac＜＞BD能力提升证明：∵△===又∵不论m为何值，∴＞0∴△＞0，∴无论m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.241(2)mm248mm2(2)4m2(2)0m2(2)4m24.2.:m,x.yxmxm已知抛物线求证无论取何值抛物线总与轴有两个交点5.已知二次函数的图像与X轴有两个不同的交点.（1）求k的取值范围（2）当k为何值时，这两个交点横坐标的平方和等于50.121267,.xxxxkk能力提升解：△=∵＞0∴k的取值为3628k解：解之得：k的取值为∴k的值为±1.222121212()250,xxxxxx267()2()50,kk3628k97k267ykxx1.k97k要点小结一般地，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时自变量x的值，也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。可由一元二次方程的根的判别式来判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题。在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程。课后练习2221.6,(2,0),(3,0),?3.2.(1);(2)25,.4.,,,60(yxxaxapxqxpqyxkxkxxkxAByCOAOBO已知抛物线与轴有两个交点则的取值范围是多少?2.已知抛物线y=x与轴的两个交点为则、的值分别是多少已知二次函数判别上述抛物线与轴的交点情况设抛物线与轴交点之间的距离为求的值设二次函数的图象与轴交于两点与轴交点点线段与的长的积等于点是坐),.m标原点求的值简阳市同合九义校彭绍兰祝老师们工作顺心！祝同学们学心进步！问题:如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h=