二次函数最值问题.

xyo（1）配方。（2）画图象。（3）根据图象确定函数最值。（看所给范围内的最高点和最低点）122(a0)xxxyaxbxc求给定范围内，二次函数最值的步骤：2324yx试判断函数的顶点坐标并判断当x为何值时抛物线的最值是多少xyo2-4(2,-4)2x当时抛物线有最小值为-42324yx试判断函数的顶点坐标并判断当x为何值时抛物线的最值是多少xyo-24(-2,4)2x当时抛物线有最大值为4二次函数:cbxaxy2(a0)xa(2)2ababac442xabac442ab2a0a00yx0yabx2自变量x取全体实数时抛物线的最值跟什么有关系？有怎样的关系？a0,抛物线开口向上，此时抛物线有最小值，最小值为抛物线顶点坐标的纵坐标。a0,抛物线开口向下，此时抛物线有最大值，最大值为抛物线顶点坐标的纵坐标。是否所有的抛物线仅有最大值或最小值呢？xyo(22)x2例如y=3x-2212当函数有自变量取值范限定时，此时抛物线就有可能同时有最大值和最小值。判断下列函数的最值情况xyo-51224yx（-5x1）-24此抛物线只有最大值；当x=-2时，最大值y=4-41-3X=-2xyo14请根据抛物线图象判断函数的最值情况。-4≤x≤1分析：由于此抛物线有一个自变量的限定，所以该函数图像仅是抛物线的一部分。由于开口方向向上，对称轴在此自变量的取值范围内，所以此抛物线仍有最低点，故此抛物线所对应的二次函数有最小值。同时由于自变量的限定，在x取-4时，函数值为1；在x取1时，函数值为4，所以此抛物线所对应的二次函数也有最大值。当x=-2时，函数有最小值y=-3;当x=1时，函数有最大值y=4xyoX=-14-31-31请根据抛物线图象判断函数的最值情况。分析：由于此抛物线有一个自变量的限定，所以该函数图像仅是抛物线的一部分。由于开口方向向下，对称轴在此自变量的取值范围内，所以此抛物线仍有最高点，故此抛物线所对应的二次函数有最大值。同时由于自变量的限定，在x取-3时，函数值为-3；在x取1时，函数值为1，所以此抛物线所对应的二次函数也有最小值。-3≤x≤1当x=1时，函数有最大值y=4;当x=-3时，函数有最小值y=-3xyX=-11o3-245请根据抛物线图象判断函数的最值情况。1≤x≤5分析：此抛物线在自变量的取值限定下仅是1≤x≤5的一部分，同时该抛物线开口方向向下，本来存在着顶点处的最大值，但由于此抛物线的对称轴并不在此范围内，所以该最大值并不能在顶点处取，根据函数的增减性，在对称轴右侧y随x的增大而减小，当x=1时，函数值为3，当x=5时，函数值为-2，所以该函数的最值只能在自变量的两个端点处取，即最大值为3，最小值为-2当x=1时，函数有最大值y=3;当x=5时，函数有最小值y=-2不取等号，没有最大值和最小值xyX=31o-1-2-13请根据抛物线图象判断函数的最值情况。-1≤x≤1分析：此抛物线在自变量的取值限定下仅是-1≤x≤1的一部分，同时该抛物线开口方向向上，本来存在着顶点处的最小值，但由于此抛物线的对称轴并不在此范围内，所以该最小值并不能在顶点处取，根据函数的增减性，在对称轴左侧y随x的增大而减小，当x=-1时，函数值为3，当x=1时，函数值为-1，所以该函数的最值只能在自变量的两个端点处取，即最大值为3，最小值为-1当x=-1时，函数有最大值y=3;当x=1时，函数有最小值y=-1不取等号，没有最大值和最小值xyoxyox1x2x1x2一、对称轴在自变量取值范围内1、a0,顶点处取最小值，最小值为顶点的纵坐标；两端点处取最大值，最大值分别由自变量x1与x2对应的函数值y1与y2,函数值最大的即为此函数的最大值。2、a0,顶点处取最大值，最大值为顶点的纵坐标；两端点处取最小值，最小值分别由自变量x1与x2对应的函数值y1与y2,函数值最小的即为此函数的最小值。自变量取值范围x1≤x≤x2xyoxyo二、对称轴不在自变量取值范围内自变量取值范围x1≤x≤x2x1x2x1x2a0,自变最取值范在对称轴左侧，根据函数的增减性，y随x的增大而减小，此时自变量x1与x2对应的函数值分别为y1与y2，最大值即为y1,最小值即为y2a0,自变最取值范在对称轴右侧，根据函数的增减性，y随x的增大而增大，此时自变量x1与x2对应的函数值分别为y1与y2，最大值即为y2,最小值即为y1a0,自变最取值范在对称轴左侧，根据函数的增减性，y随x的增大而增大，此时自变量x1与x2对应的函数值分别为y1与y2，最大值即为y2,最小值即为y1a0,自变最取值范在对称轴右侧，根据函数的增减性，y随x的增大而减小，此时自变量x1与x2对应的函数值分别为y1与y2，最大值即为y1,最小值即为y2不取等号，没有最大值和最小值简单地说：212yaxbxcxxx求二次函数（a0）在上的最值或值域的一般方法：12;2bxxxb（1）检查x=-是否属于1212(2)x,,22bbxxxxxxxxaay当属于时，计算所对应的的值，比较较大者是最大值，较小者是最小值.1212,2bxxxxxxxay（3）当x=-不属于时，计算所对应的的值，比较较大者是最大值，较小者是最小值.（4）值域就是y的取值范围，在最大值与最小值之间（含不含等号看自变量取值有没有等号）.不取等号，没有最大值和最小值例1.行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，要继续往前滑行一段才停，在某段路面，一辆汽车刹车距离S（米）与车速x（千米/时）有如下关系：S=21116020xx当车速x在60≤x≤80时，求刹车距离的最小值。例2：某商店在最近的30天内的价格与时间t（单位：天）的关系是（t+10）；销售量与时间t的关系是（35-t）,其中0＜t≤30，t为整数，求这种商品何时取得日销售金额的最大值？这个最大值是多少？解：由于这种商品日销售的价格为t+10,日销售量为35-t，则日销售金额为462535022535025351022ttttty225300t，tt即的整数的取值范是因为自变量50646253502113122y，，yt最大值为取最大值时或故当。、xxabx，abx，，：同时取得最值对称的两点于有关则在自变量取值范围内处不能取得最值在对称轴若受自变量的限制对于二次函数总结2122解：32axxy43)2(22aax2ax对称轴为时即当212)1(aa时当1xay4min时当1xay4maxxy0-112ax23.3-11yxaxx例求函数在上的最大值与最小值.23-11yxaxx函数在上递增时当2ax432minay时当1xay4max时当1xay4max时当1xay4max时当1xay4minx0y1-1x0y-11x0y-11121)2(a当22a即120a当当021a时即20a时即02a12)3(a当时即2a23-11yxaxx在上递减Oxy1-1Oxy1-1Oxy1-1评注：例3属于“轴动范围定”的问题，看作对称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,即对称轴在定范围的左、右两侧及对称轴在定范围上变化情况,要注意开口方向及端点情况。23.3-11yxaxx例求函数在上的最大值与最小值.例4:解:2)1(3222xxxy1x对称轴时即当011)1(tt时当tx322maxttyx0y1tt+1当x=t+1时ymin=t2+2223+1.yxxtxt求函数在上的最大值和最小值2231yxxtxt在上递减时当1x2miny22maxtyx0ytt+1时即当10111)2(ttt时即当21121tt∵1txt∵时即当21121tt时当tx322maxtty时当1txx0ytt+1时当1)4(t22maxty当x=t时ymin=t2-2t+3当x=t+1时x0y1tt+12231yxxtxt在上递增例4:求函数y=x2-2x+3在t≤x≤t+1时的最值评注：例4属于“轴定范围动”的问题，看作动范围沿x轴移动的过程中，函数最值的变化，即动范围在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化，要注意开口方向及端点情况。1086422468101510551015x=1k+2ky=x22∙x3y=x22∙x31086422468101510551015x=1k+2ky=x22∙x3y=x22∙x31086422468101510551015x=1k+2ky=x22∙x3y=x22∙x31086422468101510551015x=1k+2ky=x22∙x3y=x22∙x3ttttt+1t+1t+1t+1内的最值情况在下列自变量取值范围判断函数350252tty？？t为什么在何处取最大值若,1001？？t为什么在何处取最大值若,301321.当3≤x≤4时，求函数y=x2-2ax+a2-a+1的最小值。2.当a为何值时，函数y=x2-2ax+a2-a+1在3≤x≤4时的值恒大于0？2020404060608080100100120120150180140160(180，92)140160t(天）y(元)O图①20406080140180t(天）z(元)O图②1101601001201020405060我市某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示。绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z(元)与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图②的抛物线表示。（1）直接写出图①中表示的市场销售电价y(元)与上市时间t(天)(t＞0)的函数关系式；（2）求出图②中表示的种植成本单价z(元)与上市时间t(天)(t＞0)的函数关系式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？(说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元/500克。)