二重积分对称性定理的证明及应用

目录摘要…………………………………………………………………………………...…1关键词…………………………………………………………………………………..……..1Abstract………………………………………………………………………………..…1Keywords………………………………………………………………………………….1前言………………………………………………………………………………………...11．预备知识……………………………………………………………………………….12．二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用…………………….…22.1积分区域D关于坐标轴对称………………………………………………………….22.2积分区域D关于坐标区域内任意直线对称…………………………………….….52.3积分区域D关于坐标原点对称………………………………………………….……92.4积分区域D关于坐标区域内任意一点对称…………………………………...……112.5积分区域D同时关于坐标轴和坐标原点对称………………………………..…….12结束语…………………………………………………………………………………….12参考文献……………………………………………………………………………...….13二重积分对称性定理的证明及应用2摘要：本文归纳利用对称性来计算二重积分的方法，给出了二重积分对称性定理的证明并举出了相应例题．关键词：对称性；积分区城；被积函数TheApplicationofSymmetryinDoubleIntegralCalculatingAbstract：Itisintroducedinthethesissomewaysofhowtocalculatedoubleintegralwiththeapplicationofsymmetry.Itisalsoputforwardinithowtosimplifythecalculatingmethodswithsymmetry.Keywords：Symmetry;Integralregion;Integratedfunction前言利用对称性计算二重积分，不但可以使计算简化，有时还可以避免错误．在一般情况下，必须是积分区域D具有对称性，而且被积函数对于区域D也具有对称性，才能利用对称性来计算．在特殊情况下，虽然积分区域D没有对称性，或者关于对称区域D被积函数没有对称性，但经过技巧性的处理，化为能用对称性来简化计算的积分．这些都是很值得我们探讨的问题．1预备知识对于二重积分(,)Dfxydxdy的计算，我们总是将其化为二次定积分来完成的，而在定积分的计算中，若遇到对称区间，则有下面非常简洁的结论：当()fx在区间上为连续的奇函数时，()0aafxdx．当()fx在区间上为连续的偶函数时，0()2()aaafxdxfxdx．这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分．在计算二重积分时，若积分区域具有某种对称性，是否也有相应的结论呢？回答是肯定的．下面，我们将此结论类似地推广到二重积分．2二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用定理11若二重积分(,)Dfxydxdy满足3(1)区域D可分为对称的两部分1D和2D，对称点P1D，P2D；(2)被积函数在对称点的值()fP与()fP相同或互为相反数；则1()()(,)2(,)()()DDfPfPfxydxdyfxydxdyfPfP0,,．其中P的坐标根据D的对称性的类型而确定．2.1积分区域D关于坐标轴对称2.1.1积分域D关于ｘ轴对称，(,)fxy为D上的连续函数定理2如果积分域D关于x轴对称，(,)fxy为y的奇偶函数，则二重积分1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DDfxyfxyfxydxdyfxydxdyfxyfxy0，，，其中1D为D在x轴的上半平面部分．证明12(,)(,)(,)DDDfxydxdyfxydxdyfxydxdy(1)若区域D对称于x轴(图1)，对任意(,)Pxy1D，其对称点(,)Pxy2D1D0(),yxaxb，2D()0,xyaxb，令xxyt，4则2D变换为xot坐标面上的10()Dtxaxb，，且雅可比行列式(,)(,)xyxt10101．故2(,)Dfxydxdy1(,)1Dfxtdxdt1(,)Dfxydxdy11(,),(,)(,)(,),(,)(,)DDfxydxdyfxyfxyfxydxdyfxyfxy，于是，代入（1）式得：1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DDfxyfxyfxydxdyfxydxdyfxyfxy0,,．例1计算22ln(1)Dyxydxdy，其中区域D：221,0xyx解(,)fxy22ln(1)yxy是关于y的奇函数且D关于x轴对称，所以22ln(1)Dyxydxdy0．例2计算22sin()Dxydxdy，其中区域D：224,0xyx解因为(,)fxy22sin()xy是关于y的偶函数，且D关于x轴对称，所以22sin()Dxydxdy222240.02sin()xyxyxydxdy222240.02sin()xyxyxydxdy222002sindrr采用极坐标(1cos4)252.1.2积分域D关于y轴对称，(,)fxy为D上的连续函数定理3如果积分域D关于y轴对称，(,)fxy为x的奇偶函数，则二重积分1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DDfxyfxyfxydxdyfxydxdyfxyfxy0，，，其中1D为D在y轴的右半平面部分．证明若区域D对称于y轴(图2)，对任意(,)Pxy1D，对称点(,)Pxy2D，类似定理2的证明可得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DDfxyfxyfxydxdyfxydxdyfxyfxy0,,．例3计算232()Dxxydxdy，其中D：224,0xyy解32(,)fxyxxy，3232(,)()(,)fxyxxyxxyfxy，且区域D关于y轴对称，所以32()Dxxydxdy0．例4计算2Dxydxdy，其中区域D：11,01xy解2(,)fxyxy是关于x的偶函数，且区域D关于y轴对称，所以62Dxydxdy112002dyxydx112002ydyxdx13．2.2积分区域D关于坐标区域内任意直线对称将积分区域D关于坐标轴对称的情况推广到积分区域D关于坐标区域内任意直线对称，则有下面定理：定理4如果积分域D关于直线yaxb对称，则二重积分12222222()(1)()(,)(.)11(,)2()(1)()2(,)(,)(.)11DDayaxbayaxbfxaxbfxyaafxydxdyayaxbayaxbfxydxdyfxaxbfxyaa0,,其中1D为D在以直线yaxb为轴的右半平面部分图3证明若区域D对称于直线yaxb，不妨设0a，即倾斜角为锐角．首先，平移坐标轴，得坐标系xoy,如(图3)bxxayy，即bxxayy．（2）7其次，将坐标系xoy沿逆时针方向旋转，旋转角为(tan)a，使x轴与直线yaxb重合．得新坐标系uov：22(tan)cos1(tan)sinsec1uavxuvaauvyuvva（3）由（2），（3）得2211uavbxaaauvya，即222()1()11bayaxbuaxaayaxbva．xoy坐标面内对称于直线yaxb的区域D，在新坐标系uov内对应的区域D关于u轴对称．xoy面内任意点(,)Pxy1D，在uov面内对应点11(,)PuvD．22()1()1bayaxbuaxaa，21yaxbva，点1(,)Puv关于u轴对称点12(,)PuvD，1(,)Puv在xoy面内对应点为222()()(,)11uavbauvPDaaa，将,uv代入，化简得：22222()(1)()(,)11ayaxbayaxbPxaxbDaa．因此，xoy面内点(,)Pxy1D关于直线yaxb的对称点为22222()(1)()(,)11ayaxbayaxbPxaxbDaa，雅可比行列式为822221(,)1111(,)11axyaaauvaa，于是22(,)(,)11DDuavbauvfxydxdyfdudvaaa．由定理2知122(,)11Duavbauvfdudvaaa122222222220,(,)(,)11112(,),(,)(,)111111Duavbauvuavbauvffaaaaaauavbauvuavbauvuavbauvfdudvffaaaaaaaaa即12222222()(1)()(,)(.)11(,)2()(1)()2(,)(,)(.)11DDayaxbayaxbfxaxbfxyaafxydxdyayaxbayaxbfxydxdyfxaxbfxyaa0,,例5计算3二重积分3[(1)]Dxyd，其中D是抛物线2(1)yx，24(1)yx及直线1y所围成的区域图4解由于积分区域D关于直线1x对称，被积函数中3(1)x在区域D上关于(1)x为奇函数，y在区域D上关于(1)x为偶函数，见(图4),由定理4，9得：3[(1)]Dxyd102Dyd110122yyydydx25．当积分域D关于直线yx轴对称时，有下面推论：推论14如果积分域D关于直线yx轴对称，则二重积分(,)(,)DDfxydxdyfyxdxdy．例6设()fx为恒正的连续函数，计算积分222()()()()xyrafxbfydxdyfxfy解由于积分区域222xyr关于yx对称，所以由推论2，可得：222()()()()xyrafxbfydxdyfxfy222()()()()xyrafybfxdxdyfyfx，于是222()()2()()xyrafxbfydxdyfxfy222222()()()()()()()()xyrxyrafxbfyafybfxdxdydxdyfxfyfyfx222()xyrabdxdy2()abr．故222()()()()xyrafxbfydxdyfxfy2()2abr．当积分区域关于yx对称时，被积分函数的两个变量可以互换位置的特殊性质可以使二重积分计算化简．类似的，若积分区域关于直线yx对称且满足(,)(,)fxyfxy，则(,)0Dfxydxdy，或满足(,)(,)fxyfxy，则有101(,)2(,)DDfxydxdyfxydxdy．（其中1D为D的一半）2.3积分区域D关于坐标原点对称定理5如果