二阶导数意义

二阶导数的意义二阶导数就是对一阶导数再求导一次，意义如下：（1）斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率（2）函数的凹凸性。（3）判断极大值极小值。结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。一、用二阶导数判断极大值或极小值定理设)(xf在0x二阶可导，且0)(,0)(00xfxf．(1)若0)(0xf，则)(xf在0x取得极大值；(2)若0)(0xf，则)(xf在0x取得极小值．例试问a为何值时，函数xxaxf3sin31sin)(在3x处取得极值？它是极大值还是极小值？求此极值．解xxaxf3coscos)(．由假设知0)3(f，从而有012a，即2a．又当2a时，xxxf3sin3sin2)(，且03)3(f，所以xxxf3sin31sin2)(在3x处取得极大值，且极大值3)3(f．例求函数593)(23xxxxf的极大值与极小值．解)(xf在]4,2[上连续，可导．令0)3)(1(3963)(2xxxxxf，得1x和3x，思考：)(xf在1x取得极大还是极小值？在3x取得极大还是极小值？'()66fxx-1代入二阶导数表达式为-12，)(xf在1x取得极大值3代入二阶导数表达式12，在3x取得极小值三、函数图像凹凸定理若)(xf在),(ba内二阶可导，则曲线)(xfy在),(ba内的图像是凹曲线的充要条件是0)(xf，),(bax．曲线)(xfy在),(ba内的图像是凸曲线的充要条件是0)(xf，),(bax。ooxxyy几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间I上有''()0fx恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。１.曲线的凸性对函数的单调性、极值、最大值与最小值进行了讨论，使我们知道了函数变化的大致情况．但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到右曲线都在上升，但它们的弯曲方向却可以不同．如图1—1中的曲线为向下凸，而图1—2中的曲线为向上凸．图1—1图1—21212()()()22fxfxxxf定义4.5.1设)(xfy在),(ba内可导，若曲线)(xfy位于其每点处切线的上方，则称它为在),(ba内下凸(或上凹)；若曲线)(xfy位于其每点处切线的下方，则称它在),(ba内上凸(或下凹)．相应地，也称函数)(xfy分别为),(ba内的下凸函数和上凸函数(通常把下凸函数称为凸函数)．从图1—1和图1—2明显看出，下凸曲线的斜率)(tanxf(其中为切线的倾角)随着x的增大而增大，即)(xf为单增函数；上凸曲线斜率)(xf随着x的增大而减小，也就是说，)(xf为单减函数．但)(xf的单调性可由二阶导数)(xf来判定，因此有下述定理．定理4.5.1若)(xf在),(ba内二阶可导，则曲线)(xfy在),(ba内下凸(凹函数)的充要条件是0)(xf),(bax．例1讨论高斯曲线2xey的凸性．解22xxey，2)12(22xexy．所以当0122x，即当21x或21x时0y；当0122x，即当2121x时0y．因此在区间)21,(与),21(内曲线下凸；在区间)21,21(内曲线上凸．四川高考数学2006——理22压轴题22，已知函数22()lnfxxaxx，证明f(x)的导函数f’(x)对于任意两个不相等的正数x1，x2，当0a时，有1212()()()22fxfxxxf证法一：由22()lnfxxaxx2212121212()()111()()(lnln)222fxfxaxxxxxx=22121212121()()ln2xxxxaxxxx2121212124()()ln222xxxxxxfaxx比较大小，会算吗？二阶导数QM法：欲证1212()()()22fxfxxxf即证函数图像是凹的，只需证f’’(x)0，(0a)22'()2afxxxx423244''()22xaafxxxxx0,0xa''()0fx问题得证