二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧

1二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧郑燕，王俊霞太原师范学院数学系，山西晋中，030619摘要：本文总结介绍了三类二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧，分别是：特征根法；常数变易法；比较系数法.同时结合例题进行具体讲解.虽然当今社会关于二阶常微分方程初等解法求解技巧的研究已经获得了很大的成就，但它的已有理论仍然得不到求知者的满足，需要大家进一步发展，使之更加完善.关键词：二阶常系数齐次线性微分方程；特征根法；常数变易法；比较系数法；二阶常系数非齐次线性微分方程.1.预备知识𝑑2𝑥𝑑𝑡2+𝑎1(𝑡)𝑑𝑥𝑑𝑡+𝑎2(𝑡)𝑥=𝑓(𝑡)(1.1)其中𝑎𝑖(𝑡)(𝑖=1,2)以及f(t)都是连续函数并且区间是a≤t≤b.如果𝑓(𝑡)≡0,则方程（1）就变成了𝑑2𝑥𝑑𝑡2+𝑎1(𝑡)𝑑𝑥𝑑𝑡+𝑎2(𝑡)𝑥=0（1.2）我们形如方程（1.2）的方程叫做二阶齐次线性微分方程，把方程（1.1）叫做二阶非齐次线性微分方程.并且把方程(1.1)叫做方程（1.2）对应的齐次线性微分方程.2.求解方法技巧2.1常数变易法常数变易法是将常数𝐶看作是𝑡的待定函数𝐶(𝑡)，然后求出非齐次线性方程的通解.求解过程如下：设𝑥1(𝑡),𝑥2(𝑡)是方程（1.2）的基本解组，则𝑥=𝑥1(𝑡)+𝑐2𝑥2(𝑡)（2.1.1）是方程（1.2）的通解.将常数𝐶𝑖看作是t的待定函数𝐶𝑖(𝑡)(𝑖=1,2),那么方程（2.1.1）就变成𝑥=𝑐1(𝑡)𝑥1(𝑡)+𝑐2(𝑡)𝑥2(𝑡)（2.1.2）求𝑥关于𝑡的一阶导数得𝑥′=𝑐1′(𝑡)𝑥1(𝑡)+𝑐1(𝑡)𝑥1′(𝑡)+𝑐2′(𝑡)𝑥2(𝑡)+𝑐2(𝑡)𝑥2′(𝑡)令𝑐1′(𝑡)𝑥1(𝑡)+𝑐2′(𝑡)𝑥2(𝑡)=0（2.1.3）得到𝑥′=𝑐1(𝑡)𝑥1′(𝑡)+𝑐2(𝑡)𝑥2′(𝑡)（2.1.4）再求𝑥关于𝑡的二阶导数得𝑥′′=𝑐1′(𝑡)𝑥1′(𝑡)+𝑐1(𝑡)𝑥1′′(𝑡)+𝑐2(𝑡)𝑥2′′(𝑡)+𝑐2′(𝑡)𝑥2′(𝑡)(2.1.5)把方程（2.1.4）、（2.1.5）带入到方程(1.1)中可得到2.2特征根法设方程（1.1）中𝑎1、𝑎2都是常数，即L[x]≡𝑑2𝑥𝑑𝑡2+𝑎1𝑑𝑥𝑑𝑡+𝑎2x=0,（2.2.1）我们把上式叫做二阶常系数齐次线性微分方程.接着我们要求解方程（2.2.1）.那么方程（2.2.1）的通解是关键所在，我们只需要求出它的基2本解组.下面是特征根法的具体介绍.由一阶常系数齐次微分方程𝑑𝑥𝑑𝑡+𝑎𝑥=0，的通解是x=c𝑒−𝑎𝑡,由此可以猜测二阶常数齐次微分方程有指数形式的解𝑥=𝑒𝜆𝑡,L[𝑒𝜆𝑡]≡𝑑2𝑒𝜆𝑡𝑑𝑡2+𝑎1𝑑𝑒𝜆𝑡𝑑𝑡+𝑎2𝑒𝜆𝑡=(𝜆2+𝑎1𝜆+𝑎2)𝑒𝜆𝑡≡F(𝜆)𝑒𝜆𝑡,所以F(𝜆)=𝜆2+𝑎1𝜆+𝑎2是λ的二次多项式.所以上式是方程（2.2.1）的解得重要条件是F(𝜆)=𝜆2+𝑎1𝜆+𝑎2=0（2.2.2）问题转化为求解方程（2.2.2）的解𝜆.下面就𝜆的不同形式进行讨论.2.2.1特征根是两个实根设特征方程（2.2.2）有两个不相等的实根λ1，λ2,所以该方程有如下两解：𝑒𝜆1𝑡,𝑒𝜆2𝑡.我们指出这两个解在上线性无关,于是它们就组成了方程的基本解组.事实上,这时W（t）=|𝑒𝜆1𝑡𝑒𝜆2𝑡𝜆1𝑒𝜆1𝑡𝜆2𝑒𝜆2𝑡|=𝑒(𝜆1+𝜆2)|11𝜆1𝜆2|=𝑒(𝜆1+𝜆2)(𝜆2−𝜆1),≠0,所以𝑒𝜆1𝑡,𝑒𝜆2𝑡线性无关,上式得证.所以此方程的通解可表示为x=𝑐1𝑒𝜆1𝑡+𝑐2𝑒𝜆2𝑡（其中𝑐1,𝑐2为任意实数）.假设特征方程有复根,那么复根将成对共轭出现.设其中的一个特征根是𝜆1=𝛼+𝑖𝛽,那么另一个特征根是𝜆2=𝛼−𝑖𝛽,所以方程有两个复值解𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑡=𝑒𝛼𝑡(𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡+𝑖𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡),𝑒(𝛼−𝑖𝛽)𝑡=𝑒𝛼𝑡(𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡−𝑖𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡).所以,我们可求的方程（2.2.1）的两个实值解是𝑒𝛼𝑡𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡,𝑒𝛼𝑡𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡.2.2.2特征根有重根若特征方程(2.2.2)有两个相等的实根𝜆1=𝜆2，此时𝑎12−4𝑎22＝0，即有𝜆=-𝑎12，于是方程(2.2.2)有一个特解x=𝑒𝜆1𝑡，所以方程的另一个特解是𝑥2=u𝑥1=u𝑒𝜆1𝑡其中u＝u(t)为待定函数，对𝑥2求一阶，二阶导数得𝑑𝑥2𝑑𝑡=𝑑𝑢𝑑𝑡𝑒𝜆1𝑡+𝜆2𝑢𝑒𝜆1𝑡=(𝑑𝑢𝑑𝑡+𝜆2𝑢)𝑒𝜆1𝑡，atb3𝑑2𝑥2𝑑𝑡2=(𝑑2𝑢𝑑𝑡2+2𝜆1𝑑𝑢𝑑𝑡+𝜆12𝑢)𝑒𝜆1𝑡，将它们代入方程(2.2.2)得(𝑑2𝑢𝑑𝑡2+2𝜆1𝑑𝑢𝑑𝑡+𝜆12𝑢)𝑒𝜆1𝑡＋𝑎1(𝑑𝑢𝑑𝑡+𝜆2𝑢)𝑒𝜆1𝑡＋𝑎2𝑢𝑒𝜆1𝑡＝0，整理得[𝑑2𝑢𝑑𝑡2+(2𝜆1+𝑎1)𝑑𝑢𝑑𝑡+(𝜆12+𝑎1𝜆1+𝑎2)u]𝑒𝜆1𝑡=0，因为𝑒𝜆1𝑡≠0并且λ1是特征方程的根，所以𝜆12+𝑎1𝜆1+𝑎2=0，有因为𝜆1=−𝑎12所以有2𝜆1+𝑎1=0，那么上式变成𝑑2𝑢𝑑𝑡2=0，显然满足𝑑2𝑢𝑑𝑡2=0的函数很多，我们取其中最简单的一个𝑢(𝑡)=𝑡,则𝑥2=𝑡𝑒𝜆𝑡是方程（2.2.1）的另一个解，并且𝑥1、𝑥2是两个线性无关的函数，所以方程(2.2.1)的通解是x=(𝑐1+𝑐2𝑥)𝑒𝜆1𝑡.2.2.3解得表𝜆1、𝜆2的情形方程（2.2.1）的通解两个不相等的实根（𝜆1≠𝜆2）x=𝑐1𝑒𝜆1𝑡+𝑐2𝑒𝜆2𝑡两个相等实根（𝜆1=𝜆2）x=(𝑐1+𝑐2𝑥)𝑒𝜆1𝑡一对共轭复根𝜆1=𝛼+𝑖𝛽、𝜆2=𝛼−𝑖𝛽x=𝑒𝛼𝑡(𝑐1𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡+𝑐2𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡)表12.3比较系数法比较系数法中函数f(t)可以分为两个类型，这个方法是通过代数的方法来求得非齐次线性微分方程的特解，然后特解加上齐次线性微分方程的通解就是最后的通解.2.3.1f(t)=(𝑏0t+𝑏1)𝑒𝜆𝑡函数f(t)=(𝑏0t+𝑏1)𝑒𝜆𝑡，其中𝜆，𝑏0,𝑏1是确定的常数.当方程𝑑2𝑥𝑑𝑡2+𝑎1𝑑𝑥𝑑𝑡+𝑎2x=f(t)有形如𝑥̃=𝑡𝑘(At+B)𝑒𝜆𝑡的特解.其中A，B是未知的常数，k是由特征方程F（𝜆）=0来决定.若𝜆是特征根，则k=1；若𝜆不是特征根，则k=0.⑴𝜆=0，f(t)=𝑏0t+𝑏1①当𝜆=0不是特征根时，即F（0）不等于0，所以𝑎2也不等于0，所以方程的特解为𝑥̃=At+B.把特解带入非齐次线性方程中就可以得到𝑎1𝐴+𝑎2(𝐴𝑡+𝐵)=𝑏0t+𝑏1,由此可以得到{𝑎1𝐴+𝑎2𝐵=𝑏1𝑎2𝐴=𝑏0,可以求出A,B的值，求出特解.4②当𝜆=0是特征根时，即F（0）等于0，所以𝑎2等于0，所以方程的特解为𝑥̃=t(At+B).把特解带入非齐次线性方程中就可以得到2A+𝑎1(2𝐴𝑡+𝐵)=𝑏0t+𝑏1,由此可以得到{2𝐴+𝑎1𝐵=𝑏12𝑎1𝐴=𝑏0,可以求出A,B的值，求出特解.⑵𝜆≠0，引入x=y𝑒𝜆𝑡那么方程𝑑2𝑥𝑑𝑡2+𝑎1𝑑𝑥𝑑𝑡+𝑎2x=（𝑏0t+𝑏1）𝑒𝜆𝑡就可以变形为𝑑2𝑦𝑑𝑡2+𝐴1𝑑𝑦𝑑𝑡+𝐴2y=𝑏0t+𝑏1,其中𝐴1，𝐴2都是常数.上式微分方程的形式则与（1）中f(t)的形式一样.①当λ是特征方程的单根时，由（1）的求解方式可以得到该方程有特解𝑦̃=t(𝐵0t+𝐵1),所以方程的特解为𝑥̃=t(𝐵0t+𝐵1)𝑒𝜆𝑡,②当λ不是特征方程的单根时，F（0）不等于0.则方程有特解𝑦̃=𝐵0t+𝐵1,从而得到𝑥̃=(𝐵0t+𝐵1)𝑒𝜆𝑡.2.3.2f(t)=[𝐴(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡+𝐵(𝑡)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡]𝑒𝛼𝑡设f(t)=[𝐴(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡+𝐵(𝑡)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡]𝑒𝛼𝑡，其中𝛼，𝛽是常实数，A(t),B(t)是t的常实数多项式.且𝑚𝑎𝑥(𝜕𝐴(𝑡),𝜕𝐵(𝑡))=𝑚.f(t)=[𝐴(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡+𝐵(𝑡)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡]𝑒𝛼𝑡=𝐴(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡𝑒𝛼𝑡+𝐵(𝑡)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡𝑒𝛼𝑡=𝐴(𝑡)𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑡2+𝐴(𝑡)𝑒(𝛼−𝑖𝛽)𝑡2+𝐵(𝑡)𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑡2𝑖-𝐵(𝑡)𝑒(𝛼−𝑖𝛽)𝑡2𝑖=(𝐴(𝑡)2+𝐵(𝑡)2𝑖)𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑡+(𝐴(𝑡)2-𝐵(𝑡)2𝑖)𝑒(𝛼−𝑖𝛽)𝑡=𝐴(𝑡)−𝑖𝐵(𝑡)2𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑡+𝐴(𝑡)+𝑖𝐵(𝑡)2𝑒(𝛼−𝑖𝛽)𝑡=𝑓1(t)+𝑓2(t),由上式可以看出𝑓1(𝑡)̅̅̅̅̅̅=𝑓2(t)，如果x1是𝑓1(t)的解，那么x1̅必然就是𝑓2(t)的解.所以该类方程的解为𝑥̃=𝑡𝑘D(t)𝑒(𝛼−𝑖𝛽)𝑡+𝑡𝑘𝐷(𝑡)̅̅̅̅̅̅𝑒(𝛼+𝑖𝛽)𝑡=𝑡𝑘[𝑃(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡+𝑄(𝑡)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑡]𝑒𝛼𝑡,其中D(t)是t的m次多项式，而P(t)=2Re{D(t)},Q(t)=2Im{D(t)}.3.常微分方程的简单应用3.1常数变易法例1.求方程𝑥′′+𝑥=1𝑐𝑜𝑠𝑡的通解.5解：该方程所对应的特征方程是𝜆2+1=0，特征根为𝜆1=i,𝜆2=-i.是两个复根.所以齐次微分方程的通解为x=𝑐1𝑐𝑜𝑠𝑡+𝑐2𝑠𝑖𝑛𝑡,应用常数变易法，则设x=𝑐1(t)cost+𝑐2(t)sint,(1.a)x′=𝑐1′(t)cost+𝑐2′(t)sint-𝑐1(t)sint+𝑐2(t)cost令𝑐1′(t)cost+𝑐2′(t)sint=0(1.b)则x′=𝑐2(t)cost-𝑐1(t)sintx″=𝑐2′(t)cost-𝑐2(t)sint-𝑐1(t)cost-𝑐1′(t)sint(1.c)把（1.a）（1.c）带入原方程得-𝑐1′(t)sint+𝑐2′(t)cost=1𝑐𝑜𝑠𝑡.(1.d)联立（1.b）（1.d）就可以求得𝑐1′(t)=−𝑠𝑖𝑛𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡𝑐2′(t)=1所以，𝑐1(t)=𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠𝑡|+𝛾1,𝑐2(t)=t+𝛾2.因此原方程得通解可以表示为X=𝛾1cost+𝛾2sint+tsint+cost𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠𝑡|,其中𝛾1，𝛾2为任意常数.例2.求方程tx′′-x′=𝑡2在t≠0上所有的解.解：该方程所对应的齐次微分方程为tx″-x′=0将方程变形为𝑥″𝑥′=1𝑡令𝑑𝑥𝑑𝑡=y则𝑦′𝑦=1𝑡那么很容易得到y=ct继而𝑑𝑥𝑑𝑡=ct解得x=𝑐1𝑡2+𝑐2，由此可知该方程所对应的齐次常微分方程的基本解组为𝑡2