二阶电路20-8.

第8章二阶电路8.1二阶电路的零输入响应8.2二阶电路的零状态响应和全响应8.3一个线性含受控源电路的分析本章重点本章重点特征根与解的形式的关系二阶电路方程的列写二阶电路的零输入响应,零状态响应和全响应返回目录8.1二阶电路的零输入响应0dddd2CCCutuRCtuLC012RCpLCp21,24/2RRLCpLLCLRLR1)2(22特征根uC(0)=U0i(0)=0已知：求换路后uC，i，uL。RLC+-iuCS二阶电路（second-ordercircuits）:用二阶微分方程描述的电路。RLC串联电路的放电过程。二阶常系数齐次微分方程特征方程由KVL得ptCAue代人微分方程得p1，2有三种情况：2LRC两个不等的负实根2LRC两个相等负实根2LRC两个共轭复根21,24/2RRLCpL过阻尼（overdampedcase）临界阻尼（criticallydampedcase）欠阻尼（underdampedcase）2)(CLR一tptpCAAu21ee210121201221UpppAUpppA起始值00(0)(0)d(0)(0)0dCCCtuuUuCiit021UAA02211ApAp由起始值定积分常数有解得解答形式为RLC+-iuCS不等的实根p1，p2（作图时假设|p2||p1|）)ee()(dd21120tptpCppLUtuCi)ee()(dd2121120tPtPLppppUtiLu1202121(ee)ttCUppupppp则uC的变化曲线为由uC求得t0uC21021eptpUpp12021eptpUppU0uC（1）t=0时i=0，t=时i=0；i始终为正，t=tm时i最大。（2）0ttm，i增加，uL0；ttm，i减小，uL0t=2tm时uL最小。；，，，000LLutUut定性画i，uL的曲线：0tuC,i,uLtmiU0uCuL2tm由uL=0时计算出tm：0)ee(2121tptppp2112mlnppppt由duL/dt可确定uL为极小时的t0)ee(212221tptpppm2tt2112ln2pppptm2m1ee12tptppp0)ee()(2121120tPtPLppppUu解得解得能量转换关系0ttmuC减小，i增加。ttmuC减小，i减小。RLC+-uCRLC+-uC电容放出储能，电感储能，电阻消耗能量。电容、电感均放出储能,电阻消耗能量。储能释放完毕，过渡过程结束。0tuC,i,uLtmiU0uCuL2tm2)(CLR二特征根为一对共轭复根21,21()j22RRpLLLC＝－esin()tCuAt其中A，为待定系数。解答形式10LC2RL令（衰减系数）(dampingfactor)220则（自然频率）(naturalfrequency)0arctansinUA，δωω0，0，间的关系:0sin00UA0sinUA()sincos0AA解得由起始始值0)0(UuC0d(0)0dCtuiCt定系数。00esin()tCuUt0desindtCuUiCttL00desin()dtLiuLUtt定性画曲线正弦函数。为包络线依指数衰减的是其振幅以）（001UuCt=0时uC=U0uC零点：t=-，2-...n-uC极值点：t=0，，2...n（2）i零点：t=0，，2...n，i极值点为uL零点。uL零点：t=，+，2+...n+uC,i0t00detU22uCU000detUi能量转换关系0tt--t在(~2)的情况与(0~)情况相似，只是电容向相反方向放电。如此周而复始，直到储能释放完毕。RLC+-uCRLC+-uCRLC+-uCuC,i0t00detU22uCU000detUi特例R=0时0102LC则，，tLUiutUuLCsin)90sin(0o0等幅振荡。t0LC+-uC能量转换已知如图，t=0时打开开关S。求uC，并画出其变化曲线。解iL(0)=5AuC(0)=25V50p2+2500p+106=0139j25p0dddd22CCCutuRCtuLC)139sin(e25tAutC（1）由换路前电路求得（2）列写换路后电路的微分方程（3）解微分方程,其特征方程为特征根为解答形式为例15Ω20Ω10Ω10Ω0.5HF10050V+-uC+-iLS（4）由初值定待定系数5dd25)0(tuCuCC4105sin25cos13925sinAAAo176355，A25o355esin(139176)V(0)tCuttt0uC/V35525则2CLR（三）122RppL12eettCuAAt1012()0AUAA由初始条件得解出1020AUAU000e(1)dedde(1)dtCtCCtLuUtuUiCttLiuLUtt非振荡放电小结：非振荡放电过阻尼，2CLRtptpCAAu21ee21振荡放电欠阻尼，2CLResin()tCuAt非振荡放电临界阻尼，2CLR12eettCuAAt定待定系数0(0)ddCCtuut由起始条件可推广应用于一般二阶电路。返回目录8.2二阶电路的零状态响应和全响应已知uC(0-)=0，i(0-)=0微分方程为CCCuuLCRCuUtt2SddddCCCuuu特解（强制分量）通解（自由分量）特解（强制分量）为SCuU以RLC串联电路为例。二阶常系数非齐次微分方程解答为通解的特征方程为012RCpLCp一、零状态响应RLC+-uCiL+SUt=0S-12S1212ee()ptptCuUAAppS1212ee()ttCuUAAtppS1,2esin()(j)tCuUAtp21,21()22RRpLLLC特征根为按特征根的不同情况，通解（自由分量）有三种不同形式，uC解答可表示为过阻尼情况临界阻尼情况欠阻尼情况0(0)ddCCtuut由初值可确定二个待定系数uC的变化曲线为tuCUS0欠阻尼过阻尼（临界阻尼）电路如图所示。求电流i的零状态响应。i1=i0.5u1=i0.5(2i)2=2i2由KVLititiii2ddd62)2(211整理得1212dd8dd22ititi二阶非齐次常微分方程解第一步，列写微分方程：0)0(0)0(LCiu2-ii1iii解答形式为由KCL举例说明。+-0.5u11/6F1HS22Au1i22二、二阶电路的全响应第二步，求通解i：特征根为p1=2，p2=6第三步，求特解i：由稳态模型有i=0.5u1u1=2(20.5u1)i=1AttAAi6221eeV21u01282pp稳态模型+u1-22i2A0.5u1第四步，由初值定系数：ttAAi6221ee10+电路模型0(0)(0)0d(0)dLtiiiLutV82225.0)0(1uuL212162810AAAA5.15.021AA2610.5e1.5eA(0)ttit+-0.5u1222AuLu1-+返回目录8.3一个线性含受控源电路的分析讨论K取不同值时响应的零输入响应。以u1为变量列写电路方程。tuCRuidd111111121dd1()()ddduuuuRCCtuuRtCRt由KVL有211222dd31()0dduuKtRCtRC两边微分整理得节点A列写KCL方程：含受控源的RC电路如图所示。u2u1Ku1i2i3i1RCRCA+-+-+-其特征方程为222310KppRCRC22331()()22KKpRCRCRC特征根为031,2KRCRC令22120p，则211222dd31()0dduuKtRCtRC2231()()2KRCRC|3-K|2,1K5为振荡情况。2esin()tuAt1K30衰减振荡3K50增幅振荡K=3=0等幅振荡)sin(01tAu220(2)时特征根为两个实根3215KKK即和时为非振荡情况。2201（）时特征根为一对共轭复数讨论K取不同值时响应的情况：1K时，非振荡衰减5K时，非振荡发散本章小结（1）二阶电路为含有二个独立储能元件的电路，用二阶线性常系数微分方程描述。（2）二阶电路响应的性质取决于特征根。特征根仅仅取决于电路结构和参数，与激励和初值无关。非振荡放电过阻尼，2CLRtptpCAAu21ee21振荡放电欠阻尼，2CLResin()tCuAt非振荡放电临界阻尼，2CLR12eettCuAAt（3）求二阶电路全响应的步骤a.列写t0+电路的微分方程b.求通解c.求特解d.全响应=强制分量+自由分量0(0)e.ddtrrt由初值定系数。已知：iL(0-)=2AuC(0-)=0t=0时闭合开关S，求iL。（1）列微分方程50dddd22LLLRitiLtiRLC（2）求特解0dd50dd22tiLCiRtiLLLLA1Li例RLC50V50100+-S0.5HFiL解（3）求通解0200002002pp特征方程为特征根为p=100j100)100sin(e1100tAitL（4）定系数0sin100cos1002sin1AAA245A10012esin(10045)A(0)tLitt返回目录