二阶系统时域响应.

第三章时域分析法自动控制原理13.1典型输入信号3.2控制系统的时域性能指标3.3一阶系统的时域响应3.4二阶系统的时域响应3.5高阶系统的时域分析3.6线性定常系统的稳定性和劳斯判据3.7控制系统的稳态误差第三章时域分析法第三章时域分析法一、二阶系统的数学模型二、二阶系统的单位阶跃响应六、改善二阶系统性能的措施三、二阶系统的性能指标四、二阶系统对其他典型输入信号的响应3.5二阶系统的时域响应五、具有零点的二阶系统分析第三章时域分析法•用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统；•二阶系统不仅在工程中比较常见，而且许多高阶系统也可以转化为二阶系统来研究，因此研究二阶系统具有很重要的意义；•求出标准形式的性能指标表达式，便可求得任何二阶系统的动态性能指标。一、二阶系统的数学模型第三章时域分析法222()2nnnsss•闭环传递函数：2220nnss•闭环特征方程：RsYs22nnss•系统结构图：为典型二阶系统的传递函数，为阻尼系数，为无阻尼自然振荡角频率或固有频率。)(sn第三章时域分析法2222nnnssRLCur(t)uc(t)2(1()())1crGsUsULCsCsRs例1：RLC电路的传递函数为221nnRLLC12nLCRCL可见：二阶系统的参数与标准式的参数之间有着对应的关系。第三章时域分析法二、二阶系统的单位阶跃响应2221()()()2nnnYssRssss2221,222412nnnnns2220nnssζ值不同，两个根的性质不同，有可能为实数根、复数根或重根。相应的单位阶跃响应的形式也不相同。下面分别讨论。第三章时域分析法222221()()nnnsYsssss()1cos,0nyttt①当时，零阻尼系统0系统两个共轭虚根：1,2nsj此时输出将以频率做等幅振荡，所以，称为无阻尼振荡角频率。nn21,21nns第三章时域分析法二阶系统两个共轭复根：212211nndnndsjjsjjdnn1s2sj②当时，欠阻尼系统：01阻尼角阻尼振荡角频率211cosdn其中：21,21nns第三章时域分析法s域输出响应：222222222()()()1()()1()()1()()nndndnnndndndndndndYsRssssjsjssssssss第三章时域分析法时域响应：22222()1cossin1(cossin)11(1cossin)11(sincoscossin)11sin(),01nnnnnnttndddtddddtdtddtttytetetettetteett第三章时域分析法欠阻尼系统的单位阶跃响应（0ζ1）系统响应的暂态分量为振幅随时间按指数函数规律衰减的周期函数，其振荡频率为：21dn2()1sin(),01ndteyttt第三章时域分析法③当=1时，临界阻尼系统系统两个负实重根：12nss2221()()()()11()nnnnnYsRsssssss()1(1),0ntnytetttyt1011临界阻尼系统单位阶跃响应(=1)21,21nns输出响应无振荡和超调。ζ=1时系统的响应速度比ζ1时快。第三章时域分析法④当时：过阻尼系统121,21nns系统两个不等负实根：21212121()()()()()1nYsRsssssssccsssss12212()1,021ststneeyttss21,21nnstyt1011过阻尼系统单位阶跃响应(1)系统输出无振荡和超调，输出响应最终趋于稳态值1。第三章时域分析法上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根（闭环极点）、特征根分布和单位阶跃响应如下表所示：单位阶跃响应特征根分布特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根衰减振荡一对共轭复根(左半平面）等幅振荡一对共轭虚根0,阻尼零njs2,101,欠阻尼22,11nnjs临界阻尼，112nss过阻尼，121,21nns第三章时域分析法随着阻尼系数ζ的增加，y(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减的正弦运动，当ζ1时y(t)呈现单调上升运动(无振荡)。★最佳阻尼比，系统响应较快、超调不大。0.707二阶系统的阻尼响应曲线ζ值越大，系统的平稳性越好；ζ值越小，输出响应振荡越强。第三章时域分析法•闭环极点坐标与阻尼比的关系：等阻尼线1cos2n横坐标3d纵坐标4n距原点5dnn1s2sj21n第三章时域分析法三、二阶系统的性能指标本课程主要对欠阻尼二阶系统的性能指标进行讨论。其单位阶跃响应曲线：tc(t)01trtpσ%tsess性能指标有：(1)上升时间tr(2)峰值时间tp(3)超调量σ%(4)调节时间ts(5)振荡次数N2()1sin(),01ndteyttt1.欠阻尼二阶系统的性能指标(6)稳态误差ess第三章时域分析法(1)上升时间tr()1rytTime(sec.)AmplitudeStepResponse012345600.20.40.60.811.21.4From:U(1)To:Y(1)trtrdnn2()1sin(),01ndteyttt21dnrtsin0rdt第三章时域分析法(2)峰值时间tp2()1sin(),01ndteyttt22222()sin()cos()1sin()1cos()1cossin()sincos()1sin()1nnnntntdddddntntdndddytettdtettettet第三章时域分析法Time(sec.)AmplitudeStepResponse012345600.20.40.60.811.21.4From:U(1)To:Y(1)tp2()sin01npptptndttdytedttp21dnpt峰值时间=阻尼振荡周期的一半ζ一定时，ωn越大，tp越小；ωn一定时，ζ越大，tp越大。第三章时域分析法(3)超调量%2221211max2(),()()1sin()1sin()sin1()1()()%100%()100%pdppptyteytytyteytyye代入有：而Time(sec.)AmplitudeStepResponse012345600.20.40.60.811.21.4From:U(1)To:Y(1)tptp2()1sin(),01ndteyttt第三章时域分析法211%00%e%的大小完全取决于ζ，ζ越小，%越大；反映了系统的平稳性,ζ越大，系统平稳性越好。ζ=0.4~0.8%=25.4%~1.5%。第三章时域分析法(4)调整时间ts2()1sin(),01ndteyttt包络线211tne1112snte()()()sytyy按定义：nst21lnnst21lnln或第三章时域分析法nst21lnln当ζ由零增大时，ωnts先减小后增大，∆=5%，ωnts的最小值出现在ζ＝0.69处；∆=2%，ωnts的最小值出现在ζ＝0.78处；出现最小值后，ωnts随ζ几乎线性增加。21lnlnsnt第三章时域分析法结论：当ζ增加到0.69或0.78时，调整时间ts为最小。设计二阶系统，一般选ζ=0.707(β=45°),为最佳阻尼比,此时不但调整时间ts为最小,而且超调量也不大。ζ=0.707%=4.32%≈5%。ts≈3/(ζωn)。第三章时域分析法nst21lnln•典型二阶系统的调节时间ts与阻尼比和自然振荡频率ωn的乘积成反比。3,5%4,2%snsntt•闭环极点离虚轴越远，ts越短，系统响应越快。第三章时域分析法(5)振荡次数N2122ndft%,%,.212515122fsttNN仅与有关:越大，N越小，系统平稳性越好。阻尼振荡周期第三章时域分析法(6)稳态误差ess根据稳态误差的定义2()()()sin()1ntdetrtytet2lim()limsin()01ntssttdeeett欠阻尼二阶系统的稳态误差:第三章时域分析法1、二阶系统的动态性能由ωn和ζ决定。2、增加ζ降低振荡，减小超调量%和振荡次数N，系统快速性降低，tr、tp增加；3、ζ一定，ωn越大，系统响应快速性越好，tr、tp、ts越小。4、%、N仅与ζ有关，而tr、tp、与ζ、ωn有关，通常根据允许的最大超调量来确定ζ。ζ一般选择在0.4~0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬态响应时间。[总结]第三章时域分析法阻尼系数是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断一个二阶系统的瞬态品质。在的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但长。当时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定工作。1st0[总结]在欠阻尼情况下工作时，若过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，瞬态控制品质差。)10(注意到与有关，所以一般根据来选择。%%10021e%越大，（当一定时）nnnst),3(4或st为了限制超调量，并使较小，一般取0.4~0.8，则超调量在25%~1.5%之间。st第三章时域分析法过阻尼二阶系统其性能指标只有调节时间和稳态误差。(2)稳态误差的计算：(1)调节时间是根据特征根中绝对值小的来近似计算：±5%误差带±2%误差带2.过阻尼二阶系统的性能指标12212()1,021ststneeyttsslim()lim()()sstteetrtyt21,21nns设12111,ssTs113,5%4,2%sstTtT当时，34.156.0215TT，这时可用一阶系统来近似。第三章时域分析法四、二阶系统对其他典型输入信号的响应•若y(t)为单位阶跃响应，则系统r(t)y(t)2()()()dytdtytdtytdt单位脉冲响应单位速度（斜坡）响应单位加速度（抛物线）响应第三章时域分析法过阻尼：12222nnnsssRsYsΦ)()()(21ssR)(欠阻尼：01临界阻尼：=1)sin()(2122tettydntnn)()(2122tettyntnnn