从一道高考模拟题看对感应电动势的教学

从一道高考模拟题谈对感应电动势的理解王媛媛2008年北京市东城区第一次高考模拟试题理科综合试卷中的第24题如下：如图16所示，两根完全相同的光滑金属导轨OP、OQ固定在水平桌面上，导轨间的夹角为θ=74°，导轨单位长度的电阻为r0=0.1m.导轨所在空间有垂直于桌面向下的匀强磁场，且磁场随时间均匀变化，磁场的磁感应强度B与时间t的关系为tkB，其中比例系数k=2T·s.将电阻不计的金属杆MN放置在水平桌面上，在外力作用下，t=0时刻金属杆以恒定速度v=2m/s从O点开始向右滑动.在滑动过程中保持MN垂直于两导轨间夹角的平分线，且与导轨接触良好.（已知导轨和金属杆杆均足够长，8.037cos,6.037sin）求：（1）在t=6.0s时，回路中的感应电动势的大小；（2）在t=6.0s时，金属杆MN所受安培力的大小；（3）在t=6.0s时，外力对金属杆MN所做功的功率.通过分析可以看出，本题中的第一问是解决后两问的基础，即考生要先求出在6.0秒时回路中的瞬时感应电动势。这一问考查了学生对感应电动势的理解。摘录本题参考答案如下.分析和解：（1）经时间t时，金属杆MN切割磁感线的有效长度为tvtL32tan2…………………………………………①（2分）回路所围的面积为232tvtLS…………………………②（2分）回路的总电阻为tvtrR5.02cos20…………………………③（2分）金属杆MN切割磁感线产生感应电动势大小为：VBlvE121……④（2分）产生感应电流的方向为逆时针.设t1、t2为t的前后时刻，在（t2－t1）时间内回路磁通电量变化为：)(6)3)(()3)((12211222ttttkttk…………………………⑤（2分）MθBONPQv则由此根据法拉第电磁感应定律可知产生的感应电动势大小为：VtttE6122…………………………………………⑥（2分）VEkEtStkBSBtE6332222即或根据楞次定律可判断其感应电动势产生感应电流的方向也为逆时针由④⑥两式可得回路中的感应电动势的大小VEEE1821…………⑦（1分）在上述答案中，做题人分别求出了导体切割磁感线形成的感应电动势以及由于磁通量变化产生的感应电动势，并根据两种感应电动势形成的电流方向相同，对两种感应电动势求代数和，得出结果。笔者通过查阅资料认为，上述做法有待推敲。在高中物理教学中，感应电动势的概念出现在人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书（必修加选修）物理第二册（2003年6月第1版）（以下简称为“教材”）第十六章第二节法拉第电磁感应定律——感应电动势的大小。对高中学生来说，感应电动势并不容易理解，它取决于学生对电磁感应现象及电动势的掌握。鉴于主旨所限，本文对电动势的概念不做赘述。但总的说来，对感应电动势的把握应主要包括三个方面，即感应电动势的产生、感应电动势大小的计算、感应电动势在闭合回路中形成的电流方向。这三方面联系紧密，不可分割，特别是第一点，它是正确理解后两点的基础。教材对感应电动势的定义出现在第197页的第4行：“在电磁感应现象中产生的电动势叫做感应电动势”，从这句话可以看出教材在下定义的同时也指出了产生感应电动势E的原因是发生电磁感应现象。发生电磁感应现象的原因是磁通量发生了变化。而磁通量变化的快慢即磁通的变化率t正是影响感应电动势大小的关键因素，正如法拉第电磁感应定律所指出的tnE，n为线圈的匝数。在匝数确定的情况下，磁通量变化越快，磁通的变化率越大,产生的感应电动势越大；反之，感应电动势越小。如果我们再追究磁通量变化的原因，就会对感应电动势的产生实质及其计算有更加透彻的理解。磁通量在高中教材中是这样定义的：“设在匀强磁场中有一个与磁场方向垂直的平面，磁场的磁感应强度为B，平面的面积为S，我们定义磁感应强度B与面积S的乘积，叫做穿过这个面的磁通量，简称磁通。如果用表示磁通量，则有BS。”很显然，这样的定义局限性是很大的，但即便如此，我们还是能够得出磁通量与磁感应强度和包围磁场的面积有关系的结论。因此磁通的变化可以通过改变面积或者改变磁场或者二者都发生变化来实现。为方便讨论，我们以右图所示的物理情景为例：在水平放置的光滑金属导轨的一端连接有电阻R，金属棒L刚好跨接在两导轨之间，与导轨垂直。导轨之间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B.首先讨论磁场不变，面积改变的情况。教材也特别对这种情况下感应电动势的计算，从法拉第电磁感应定律出发做了推导。设L以速度v水平向右运动，在t时间内，闭合电路的面积变化量tLvS，穿过闭合电路的磁通量的变化量tBLv。由于L匀速运动,引起的面积变化就是均匀的,因此磁通量的变化就是均匀的,磁通的变化率t在L运动过程中为恒定值,将其带入法拉第电磁感应定律tnE，且n=1,得到BLvE.这样产生的感应电动势是由于导体运动产生的。感应电动势产生的实质是由于导体棒向右运动时，表现为导体棒切割磁感线，导体棒内的自由电子也以速度v跟随它向右运动，因此电子会受到洛伦兹力的作用。在洛伦兹力的推动下，电子会聚集在图中L的下端，使得下端带负电，而上端带正电，由于和R及导轨形成闭合回路，因此会在回路中形成电流，在图中表现为顺时针电流。这种由于导体运动使得电子在洛伦兹力的作用下定向移动而形成的感应电动势称为动生电动势。应该看到，即使L不与导轨连接，当L切割磁感线时也会出现正负电荷分别在两端积聚的情况，正电荷积聚处为正极、负电荷积聚处为负极，运动的导体棒可以看成电源。再来讨论磁场变化而面积不变所形成的感应电动势的计算。根据法拉第电磁感应定律tnE，就我们所讨论的情景，当n=1时，tE。因为S不变，所以StBE，tB为磁感应强度的变化率。当变化率恒定时，产生的感应电动势为恒定值，当变化率变化时，利用不同时刻的值求得不同时刻的感应电动势。这种由于磁感应强度的变化而形成的感应电动势称为感生电动势。应该强调的是这种感生电动势产生的原因应归结为麦克斯韦电磁场理论中的一条基本规律：变化的磁场产生电场，而且是涡旋电场。这种感生电动势的产生并不依存于导体的存在，导体只是为产生的电场提供了存在的客观依据而已。动生电动势与感生电动势的产生实质的不同，彼此互不影响，因此，当面积与磁感应强度都发生变化时，或者从另一个角度来说，当动生电动势与感生电动势同时存在时，我们应当综合考虑两者的作用效果。对这类问题的处理方法主要有两种，第一种方法是，看B的变化与导体运动共同形成的磁通的变化，通过法拉第电磁感应定律tnE计算感应电动势；第二种方法是分别求得动生电动势与感生电动势，再根据在闭合回路中形成的电流方向来计算总的感应电动势。关于感生电动势和动生电动势引起的感应电流的方向，可以根据楞次定律来确定。通过上述分析，我们再看这道题目，可以很容易得到，随着时间的发展，金属框包围的磁通量发生了变化，这种变化不仅有金属棒切割磁感线的运动亦即面积增大造成的结果，也有磁场随时间减弱的效果。也就是说，在金属线框中的感应电流应该是动生电动势与感生电动势共同作用产生的。对于这种情况，根据方法一，我们可先求出任意时刻t时的磁通量，研究它随时间t的变化规律，找到变化率t，再利用法拉第电磁感应定律求解。具体过程如下：在时刻t，根据题意∵kBt,2337tan221tvtvtS∴kt3SB∴k3tEVt6因为磁通量随时间逐渐增大，根据楞次定律可得，电流方向为逆时针。根据方法二，我们可先分别求出动生电动势与感生电动势，再根据二者在回路中引起的电流方向相同与否，进而取和或差。具体过程如下：金属杆（有效长度）切割磁感线产生动生电动势大小为：E1＝BLv＝12V①根据右手定则,产生感应电流的方向为逆时针2tktktBB，（变化率的推导需要用到导数）E2=BSt=6V②根据楞次定律可判断其感应电动势产生感应电流的方向为顺时针由于两种感应电动势形成的感应电流的方向不同,由①②两式可得回路中的感应电动势的大小E=6V产生感应电流的方向为逆时针。经过上述分析，笔者认为原题参考答案混淆了感应电动势、感生电动势、动生电动势的概念及其关系，正确答案应如前所述。该题后两问不涉及本文主旨,不再赘述.以上仅为笔者拙见，期待与读者商榷。参考书目：1.全日制普通高级中学教科书（必修加选修）物理第二册，人民教育出版社出版，2003年6月第1版.2.电磁学，赵凯华、陈熙谋，高等教育出版社，1985年6月第2版.