从数学思想方法的培养角度审视小学数学竞赛的训练与辅导之模拟练习题解答

数形结合思想模拟练习1：1.[柳卡问题]每天中午有一艘轮船由哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。轮船在途中均要航行七天七夜。且均沿同一航线航行。试问今天中午从哈佛开出的一艘轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的同一公司的轮船?（这是十九世纪在一次世界科学会议期间,法国数学家柳卡向在场的数学家们提出的一个问题,它难倒了在场的所有数学家,连柳卡本人也没有彻底解决。后来有一位叫斯图姆的数学家通过图解法,才使问题最终得到解决,你能想出来是怎样解决的吗？）[答案如下图13艘。]分析与解：2.甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米，中午12点甲到达西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。问：东、西两村相距多远？[答案60千米]分析与解：①两人相遇时甲比乙多走30千米，此时已走了30÷6=5（时），是下午1点。说明甲每小时走15千米，所以东、西两村相距15×（12-8）=60（千米）。②4小时后甲比乙多行6×4=24（千米），刚好是甲返回15千米所行时间里与乙相遇的路程，则这段时间里乙行了24-15=9（千米），两者刚好相差6千米，说明刚好是1小时。说明15和9分别是两者的速度。所以东、西两村相距15×（12-8）=60（千米）。3.甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，两人同向而行，甲26分钟赶上乙；两人相向而行，6分钟可相遇。已知乙每分钟行50米，求A，B两地的距离。[答案780米]分析与解：①先根据题意画出草图，由图可知甲26分钟行的路程等于甲、乙各6分钟相遇的路程加上乙26分钟行的路程。则甲20分钟行的路程等于乙32分钟行的路程。则甲速为50×（26+6）÷（26-6）=80（米）A，B两地距离为（80+50）×6=780（米）。②设甲每分钟走x米。由A，B两地距离可得（x+50）×6=（x-50）×26解得x=80（米）。所以A，B两地距离为（80+50）×6=780（米）。4.某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？”司机回答：“10分钟前我超过一个骑自行车的人。”这人继续走了10分钟，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车的速度是人步行速度的3倍，那么，汽车速度是人步行速度的多少倍？[答案7倍]分析与解：如图：汽车与自行车的速度差等于自行车与行人的速度和，以行人的速度为1，则自行车的速度为3，汽车的速度为3×2+1=7。5.某人沿着电车道旁的便道以4.5千米/时的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过。如果电车按相等的时间间隔发车，并以同一速度不停地往返运行，那么电车的速度是多少？电车发车的时间间隔是多少？[答案18千米/时；9分。]分析与解：如图：提示：与案例2类似，由[7.2，12]=36，假设此人向前走36分钟，再向回走36分钟，共遇到同方向的车36÷7.2+36÷12=8（辆），两车间隔（36+36）÷8=9（分）。电车速度为4.5×[7.2÷（9-7.2）]=18（千米/时）。（注7.2÷（9-7.2）表示人行7.2分钟的路程=车行1.8分钟的路程。）6.铁路旁有一条小路，一列长110米的火车以30千米/时的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名工人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民。问：工人与农民何时相遇？[答案8点30分]分析与解：如图：则火车每分钟行30×1000÷60=500（米），8点时工人与农民相距（500+50）×6=3300（米），两人相遇还需3300÷（60+50）=30（分），即8点30分两人相遇。7.小红从家到火车站赶乘火车，每小时行4千米，火车开时她还离车站1千米；每小时行5千米，她就早到车站12分钟。小红家离火车站多少千米？[答案9千米]分析与解：如图：①根据追及问题或用盈亏问题的思想分析可得：（5×12÷60+1）÷（5-4）=2（小时）。则小红家距车站4×2+1=9（千米）。②设小红出发时离火车开还有x时。由到车站的距离可列方程解得x=2。则小红家距车站4×2＋1＝9（千米）。模拟练习2：1.41+81+161+321+641+1281+2561+5121+10241＝41×2－10241＝10245112.31+61+121+241+481+961+1921+3841＝31×2－3841＝3842553.51+101+201+401+801+1601+3201+6401＝51×2－6401＝6402554.74+72+71+141+281+561+1121+2241＝74×2－2241＝2242555.68+34+17+8.5+4.25+2.125+1.0625+……＝68×2＝1366.21+61+121+201+301+421+561+721+901＝1－101＝1097.21+65+1211+2019+3029+4241+5655+7271+9089＝9－（1－101）＝1098模拟练习3：1.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周或供23头牛吃9周。那么，可供21头牛吃几周？设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。[答案12周]分析与解：如图：设1头牛1周吃的草为1份。则牧场每周新长草（23×9－27×6）÷（9—6）＝15（份）。则草地原有草（27—15）×6＝72（份）可供21头牛吃72÷（21—15）＝12（周）。2.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天或供19头牛吃24天。有一群牛，吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完，这群牛原来有多少头？[答案40头]分析与解：如图：设1头牛1天吃的草为1份。则牧场每天新长草（17×30－19×24）÷（30—24）＝9（份）。则草地原有草（17—9）×30＝240（份）这群牛8天应吃掉草240＋9×8＋4×2＝320（份），所以这群牛有320÷8＝40（头）。3.经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？[答案70亿]分析与解：如图：设1亿人生活1年消耗的资源为1份。则地球每年新生成资源（80×300－100×100）÷（300—100）＝70（份）。当新生成的资源不少于每年消耗掉的资源时，地球上的资源才不至于减少。所以地球最多能养活70亿人。4.有一水池，池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20时可以把水抽干；用15部同样的抽水机，10时可以把水抽干。那么，用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？[答案5时]分析与解：如图：设1部抽水机1时抽出的水为1份。则水池中每小时涌出泉水（10×20－15×10）÷（20—10）＝5（份）。则水池原有水（10—5）×20＝100（份），25部抽水机抽干需100÷（25－5）＝5（时）。5.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。如果同时开放3个检票口，那么40分钟检票口前的队伍恰好消失；如果同时开放4个检票口，那么25分钟队伍恰好消失。如果同时开放8个检票口，那么队伍多少分钟恰好消失？[答案10分]分析与解：如图：设1个检票口1分钟通过的旅客为1份。则每分钟新来旅客（3×40－4×25）÷（40—25）＝34（份）。则原有旅客（3—34）×40＝3200（份），开8个检票口需3200÷（8－34）＝10（分）。6.两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛白天爬行的速度是不同的，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？[答案15米]分析与解：如图：每夜下划（20×5－15×5）÷（6—5）＝10（分米）。则井深（20＋10）×5＝150（分米）＝15（米）。7.两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在20秒钟里，男孩可走27级梯级，女孩可走24级梯级，结果男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端。问：该扶梯共多少级？[答案54级]分析与解：如图：自动扶梯每分钟走[24×（180÷20）－27×（120÷20）]÷（3—2）＝54（级）。则自动扶梯共有27×（120÷20）－54×2＝54（级）。8.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？[答案12分]分析与解：如图：旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。设1个检票口1分钟检票的人数为1份，则每分钟新来旅客（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要60÷（7-2）=12（分）。9.一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？[答案40分]分析与解：如图：设1个出水管1分钟排出的水为1份。则每分钟进水量答：出水管比进水管晚开40分钟。模拟练习4：1.（学区选拔赛题10）如左下图，由边长为1cm的正六边形排成一长条形链子。其中每个黑色六边形与6个白色六边形相邻。若链子上有366个白色六边形，则此链子有（）个黑色六边形。[答案91个]分析与解：根据图形分析可得规律：每增加一个黑色六边形，则需增加4个白色六边形，即可得若链子上有n个黑色六边形，则此链子共有2+4n个白色六边形。根据题意分析反思考可得：其中左边第一个黑色六边形与6个白色六边形相邻．即每增加一个黑色六边形，则需增加4：若链子上有366个白色六边形，则链子共有黑色六边形（366-2）÷4=91个。点评：此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和空间想象能力。解题的关键是发现规律：多一个黑色六边形，多4个白色六边形。2.（学区选拔赛题14）如右上图，是由相同长度小棒搭成的三角形图形，图1的三角形边长是由一根小棒构成，图2的三角形边长是由二根小棒构成，图3的三角形边长是由三根小棒构成，问当三角形的边长由15根小棒构成时的图形共需小棒（）根。[答案360根]分析与解：根据图形分析可得规律：边长是1根小棒的三角形根数是1×3=3（根），边长是2根小棒的三角形根数是（1+2）×3=9（根），边长是3根小棒的三角形根数是（1+2+3）×3=18（根），可得若边长是n根小棒的三角形根数是（1+2+3+…+n）×3=（1+n）n÷2×3（根），则边长是15根小棒的三角形根数是（1+15）×15÷2×3=360（根）。3.将长为30厘米，宽为10厘米的长方形白纸，按如下中图的方法粘贴起来，粘贴部分的宽为3厘米，求20张白纸粘贴后的总面积是多少？[答案5430平方厘米]分析与解：根据图形分析可得规律：最后一张白纸最右边除去3cm后，从每张左起到粘贴处左边长各为27cm，则20张白纸粘贴后的长为（30－3）×20＋3＝543（cm），所以面积为543×10＝5430（平方厘米）。4.左上图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。[答案48平方厘米]分析与解：如果一面一面去数，那么虽然可以得到答案，但太麻烦，而且容易出错。仔细观察会发现，这个立体的上面与下面、左面与右面、前面与后面的面积分别相