以一次函数为背景的中考压轴题

以一次函数为背景的中考压轴题刘久红一次函数是初中数学的重点内容之一，也是中考的主要考点。现举几例以一次函数为背景的中考压轴题供同学们在中考复习时参考。一、一次函数图象上的动点【例1】如图，已知直线的函数表达式为，且轴、y轴分别交于A、B两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1上单位长度的速度向点O移动，设点Q、P移动的时间为秒。（1）求出点A、B的坐标；（2）当为何值时，△APQ与△AOB相似？（3）求出（2）中当△APQ与△AOB相似时，线段PQ所在直线的关系式。分析要求点A、点B的坐标时，分别令即可。由于△APQ与△AOB相似的对应关系未确定，因此要分类讨论。对于第（3）小问可根据（2）中的讨论分别求出直线PQ的函数表达式。解（1）由，令，得；令，得。∴A、B的坐标分别是（6，0），（0，8）。（2）由BO=8，AO=6，得AB=10。当移动的时间为时，AP=，AQ=。∵∠QAP=∠BAO，∴当时，△APQ∽△AOB，∴，则（秒）。∵∠QAP=∠BAO，∴当是，△AQP∽△AOB，∴，则，（秒）。经检验，它们都符合题意。∴秒或秒，此时△AQP与△AOB相似。（3）当秒时，PQ∥OB，PQ⊥OA，PA=，∴OP=，则P（，0）。∴线段PQ所在直线的关系式为。当时，PA=，BQ=，OP=，∴P（，0）设Q点的坐标为（x，y），则有，∴，∴。当时，，∴Q的坐标为（，）设PQ的表达式为，则∴∴PQ的表达式为。综上所述：线段PQ所在直线的关系式为或。◆评注这是一道以一次函数为背景的动态几何问题，这类压轴题向来是中考的热点问题，第2小题要求学生动中求静，将动态问题转化为静态的几何问题，再运用相似的有关知识解决问题，同时要注意分类讨论。二、一次函数图象上的动线【例2】如图，在平面直角坐标系中，两个函数，的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S。（1）求点A的坐标；（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间（秒）的关系式；（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由；（4）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间满足的条件是________________。分析要求点A的坐标只需求出方程组的解即可。在求（2）中S与的关系式时要先根据所作的正方形PQMN求出此时的值，再分类讨论。若（2）解答正确对解决第（3）小问应无障碍。第（4）小问只需知道点P继续运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，点P的位置即可。解（1）由，可得∴A（4，4）（2）点P在上，OP=，则点P坐标为（，）。点Q的纵坐标为，并且点Q在上，∴。即点Q坐标为，则PQ=。当时，。当时，。当点P到达A点时，，当时，。（3）有最大值，最大值应在中，，当时，S的最大值为12。（4）。◆评注这是一道以两个一次函数为背景的数学问题，主要考查方程、代数式、二次函数等知识，试题中贯穿了方程思想和分类讨论的思想，同时还有运动变化的过程。三、一次函数图象上的动圆【例3】在平面直角坐标系中，已知直线经过点A（，0）和点B，直线的函数表达式，与相交于点P，⊙C是一个动圆，圆心C在直线上运动，设圆心C的横坐标是a，过点C作CM⊥x轴，垂足是点M。（1）填空：直线的函数表达式是______________，交点P的坐标是_____________，∠FPB的度数是_____________；（2）当⊙C和直线相切时，请证明点P到直线CM的距离等于⊙C的半径R，并写出时a的值。（3）当⊙C和直线不相离时，已知⊙C的半径R=，记四边形NMOB的面积为S（其中点N是直线CM与的交点）。S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a的值；若不存在，请说明理由。分析直线经过点A（，0）和点B（，）。则建立方程组求解；P点为两直线的交点，建立方程组求解即可。由P点坐标可知PA=PE，且∠PAO=30°。第（2）小问先作出图形，通过构造Rt△CDP≌Rt△PGC发现PG=CD=R；第（3）小问可根据第（2）小问进行分类讨论分别求S的最大值。解（1），P（1，），60°（2）设⊙C和直线相切时的一种情况如图甲所示，D是切点，连接CD，则CD⊥PD。过点P作CM的垂线PG，垂足为G，则Rt△CDP≌Rt△PGC（∠PCD=∠CPG=30°，CP=PC），所以PG=CD=R。图甲当点C在射线PA上，⊙C和直线相切时，同理可证。取时，，或。（3）当⊙C和直线不相离时，由（2）知，分两种情况讨论：①如图乙，当时当（满足）时，S有最大值。此时。图乙②当时，显然⊙C和直线相切时S最大。即时，S最大，此时，。综合以上①和②，当或时，存在S的最大值，其最大面积为。◆评注此题较为新颖，符合新课标的理念，揭示了求最值的一般方法，本题的难度设置也较为合适，使同学们都能有发挥自己能力的空间。