任意角的三角函数的定义1导学案

1.2.1任意角的三角函数导学案一教学目标1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2.理解任意角的三角函数不同的定义方法；3.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.二教学重难点：重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义。难点:任意角的三角函数不同的定义方法；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.三自主学习复习1：用弧度制写出终边在下列位置的角的集合.（1）坐标轴上；（2）第二、四象限.复习2：锐角的三角函数如何定义？如图，设锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点(,)Pab，它与原点的距离220rab.过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为a，线段MP的长度为b.则sinMPbOPr；cos=；tanMPOM=.认真阅读教材P14-P16对照学习目标，完成导学案，适当总结。1.任意角的三角函数的定义问题1：将点取在使线段OP的长1r的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数为：sinMPOP；cosOMOP；tanMPOM.问题2：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么，角的概念推广以后，我们应该如何推广到任意角呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为，然后就可以类似锐角三角函数求得该角的三角函数值.新知：在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆.问题3：如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)Pxy，那么：yP（a，b）rOM（1）叫做的正弦(sine)，记做sin；（2）叫做的余弦(cossine)，记做cos；（3）yx叫做的正切(tangent)，记做tan.即：siny，cosx，tan(0)yxx.试试：角34与单位圆的交点坐标为，则3sin4，3cos4，3tan4.反思：①当()2kkZ时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于，所以无意义.②如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)xy，它与原点的距离为2222(||||0)rrxyxy，则：sinyr；cos=；tan=.【知识拓展】终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)xy，它与原点的距离为22rxy，则：（1）xy叫做的余切，记作cot，即cotxy；（2）rx叫做的正割，记作sec，即secrx；（3）ry叫做的余割，记作csc，即cscry四课堂互动探究（一）三角函数的定义例1、求43角的正弦、余弦和正切值．解：∵43角的终边落在直线y=—x这条直线上，在此直线上取点（—1,1）则2r312sin=422yr312cos=422xr31tan=141yx变式练习1求56角的正弦、余弦和正切值解：51sin6253cos6253tan63小结：作角终边→求角终边与单位圆的交点→利用三角函数定义来求.例2已知角的终边经过点P(4,－3)，求sin、cos、tan的值；解∵3,4yx，∴5r，于是：3sin=5yr4cos=5xr3tan=4yx变式练习2已知角的终边经过点P(4a,－3a)(a≠0)，求2sin+cos的值；解：∵ayax3,4，∴ar5，于是：当0a时，5254532cossin2当0a时，5254532cossin2五当堂检测1.tan()4（）.A.1B.1C.22D.222.7sin6（）.A.12B.12C.32D.323.如果角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴重合，终边在函数5(0)yxx的图象上，那么tan的值为（）.A.5B.－5C.15D.154.cos(30).5.已知点(3,4)Paa(0)a在角α的终边上，则tan=.六课堂小结：1.单位圆定义任意角的三角函数；2.由终边上任一点求任意角的三角函数.七课后作业：（一）选择题1、已知角α的终边过点P（－1,2）,cosα的值为（）A．－55B．－5C．552D．25答案：A2、α是第二象限角，P（x,5）为其终边上一点，且cosα=42x，则sinα的值为（）A．410B．46C．42D．－410答案：A二．填空题3、角α的终边上有一点P（m，5），且)0(,13cosmm，则sinα+cosα=______．答案：12m时，1317cossin；12m时，137cossin．4、已知角θ的终边在直线y=33x上，则sinθ=；tan=．21sin；33tan．三解答题5、已知角终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4（且均不为零），求2sin+cos的值．解：若角终边过点3,4P，则254532cossin2；若角终边过点3,4P，则5254532cossin2；若角终边过点3,4P，则254532cossin2；若角终边过点3,4P，则5254532cossin2．6、若角的终边落在直线yx815上，求sectan解：（1）取)15,8(1P，则17r，17151sectan884；（2）取)15,8(2P，则17r，1715sectan488