五年级寒假第2讲-计算二(教师版)

1第二讲计算二一、数列1.数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列．数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项．数列中共有的项的个数叫做项数．2.等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差．3.常用公式：等差数列的总和=(首项+末项)×项数÷2项数=(末项−首项)÷公差+1末项=首项+公差×(项数−1)首项=末项−公差×(项数−1)公差=(末项−首项)÷(项数−1)等差数列(奇数个数)的总和=中间项×项数二、分数小数混合运算在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数．技巧1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便．技巧2：在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数．此时要将包括循环小数在内的所有小数都化为分数．技巧3：在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便．技巧4：在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定．技巧5：在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的变，把这些常用的数互化数表化对学习非常重要．三、循环小数化分数1.17的“秘密”10.1428577，20.2857147，30.4285717，…，60.85714272.推导以下算式2⑴10.19；1240.129933；123410.123999333；12340.12349999；⑵121110.129090；12312370.123900300；123412311110.123490009000；⑶1234126110.123499004950；5123411370.123499901110以0.1234为例，推导1234126110.123499004950．设0.1234A，将等式两边都乘以100，得：10012.34A；再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34A，两式相减得：10000100123412AA，所以12341261199004950A．3.循环小数化分数结论纯循环小数混循环小数分子循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母n个9，其中n等于循环节所含的数字个数按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的左侧·0.9aa；··0.99abab；··10.09910990ababab；··0.990abcaabc，……四、方程的重要性方程作为一个小学数学的重要工具，是小学向初中过渡的重点也是难点．渗透方程思想，让学生能用字母表示数字，解决一些比较抽象的数学关系，所以学好方能对于学生以后学习数论等较难专题有很大帮助．五、相关名词解释1、算式：把数用运算符号与运算顺序符号连接起来是算式2、等式：表示相等关系的式子3、方程：含有未知数的等式4、方程命名：未知数的个数代表元，未知数的次数：n元a次方程就是含有n个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程例如：一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程；如：37x，71539q，222468m（），5、解方程：求方程的解的过程叫解方程．所以我们做方程的题时要先写“解”字，表示求方程的解的过程开始，也就是开始“解方程”．6、方程的能使方程左右两断相等的未知数的值叫方程的解六、解方程的步骤1、解方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化未知数系数为1．2、移项变号：根据等式的基本性质可以把方程的某一项从等号的一边移到另一边，但一定要注意改变原来的符号．我们常说“移项变号”．33、移项的目的：是为了把含有x的未知项和数字项分别放在等号的两端，使“未知项=数字项”，从而求出方程的解．4、怎样检验方程的解的正确性？判断一个数是不是方程的解，就要把这个数代入原方程，看方程两边结果是否相同．七、解二元一次方程组的一般方法解二元一次方程的关键的步骤：是消元，即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程．消元方法：代入消元法和加减消元法代入消元法：⒈取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程①；⒉将①代入另一个方程，得一元一次方程；⒊解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；⒋将这个未知数的值代入①，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．加减消元法：⒈变形、调整两条方程，使某个未知数的系数绝对值相等（类似于通分）；⒉将两条方程相加或相减消元；⒊解一元一次方程；⒋代入法求另一未知数．加减消元实际上就是将带系数的方程整体代入．八、定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算．基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算．关键问题：正确理解定义的运算符号的意义．注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序．②每个新定义的运算符号只能在本题中使用．我们学过的常用运算有：+、−、×、÷等.如：2+3=52×3=6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“+”，“−”，“×”，“÷”运算不相同.九、定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合例题14⑴计算468103436⑵以质数71做分母的最简真分数有123,,......,7171716970,;7171求这列数的和⑶计算：56789101113579111313131313131313【分析】⑴这是一个等差数列，根据等差数列求和公式计算得：(436)172340⑵方法一：将这列数的分子从左往右排起来是1，2，3，4…69，70．可以发现这是一个等差数列，首项是1，末项是70，项数是70．我们可以用等差数列求和公式“和(首项末项)项数2”求出分子相加的和，再求出以质数71做分母的最简真分数的和．123469701234.....6970(170)702......357171717171717171方法二：将这列数排列起来，可以发现：第二项比第一项多171，第三项比第二项多171，第四项比第三项多171，…………因此，可以直接使用等差数列求和公式求和．12346970170.....702357171717171717171⑶带分数加法，我们先计算整数部分，再计算分数部分，认真观察我们发现整数部分和分数部分都可以利用等差数列求和公式进行计算.56789101113579111313131313131313567891011(135791113)()13131313131313(511)72(113)721344941345313例题2一列由两个数组成的数组：（1，1），（1，2），（2，2），(1，3)，(2，3)，(3，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)，(4，4)，(1，5)，…，请问：（1）第100组内的两数之和是多少？（2）前55组中“5”这个数出现了多少次？【分析】观察每一组内的第二个数，则知第二组是几，第二位是这个数就有几个，由于1231391，则第100组内的两个数为，9+14=23；同样，据上面所述规律，由于1231055，当该组的第二个数是5时，这样的组数有5+1=6个，当该组的第二个数是6、7、8、9、10时，分别对应的有1个5，所以5共出现了10次．5例题3【一】计算：1231736182434320【分析】原式13213333[(31)(68)](515)3344332020【二】计算：151030.85126.3206（）【分析】0.1例题4【一】将下列分数化为小数：38，56，449，27，1013．【分析】根据题意，有30.3758，50.836，444.89，20.2857147，100.76923013【二】把下列循环小数转化为分数：0.48，0.1353，3.1703，6.36538461．【分析】48160.489933；1353410.13539999303；17031233.1703339990135；3653846136196.36538461669999990052；例题5计算：（1）0.10.20.3；（2）0.20.30.4；（3）0.30.50.7；（4）0.10.120.123；（5）0.120.23.【分析】（1）原式=20.10.20.30.63；（2）原式=0.20.30.40.91；（3）原式=0.30.50.70.90.71.6；（4）原式=1121123121111113210.10.120.1230.356990900990900900；（5）原式=0.120.230.354；例题6解下列方程：（1）31714612xxxx；6（2）32172(1)223423xx；（3）355412xx；（4）（1x）（7x）2(2)5x.【分析】(1)123321712xxxx（2）17213423xx12392271210512xxxxxx5112265xx（3）235541xx（4）2287445xxxx610205514xxx；4212xx例题7解下面的方程组：（1）11949,13317;xyxy（2）21,13859;yxxy（3）1829307,1628284.xyxy【分析】（1）2x，3y；（2）7x，4y；（3）9x，5y例题8定义两种运算＊◎，对任意两个整数A，B，A＊B=A+B−1，A◎B=A×B−1，求（1）[（6*8）*（3*5）]，（2）若x*(x◎4)=30，求x【分析】（1）[（6*8）*（3*5）]=13*7=19.（2）(x◎4)=4x−1，x*(x◎4)=x+4x−1−1=5x−2=30，解得x=6.4练习1计算：⑴2469698100135959799（）（）⑵13467910121366676970；⑶1000999998997996995106105104103102101．⑷616926993699946999956999996【分析】⑴和式2498100，1359799中的项成等差数列，从而可能想到先求和，再7做减法．这样做，很自然，也比较简便，有其他更为简便的解法吗?再看题，你会冒出一个好想法：运用加减运算性质先做减法：21，43，65，，10099，它们的差都等于1，然后，计算等于1的差数有多少个．由于题中1至100的全部偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减(以大减小)，共得50个差数1，从而，原式214398971009950（）（）（）（）．⑵以把这个数列拆分