五年高考真题分类汇编第六章不等式推理与证明

五年高考真题分类汇编：不等式、推理与证明一.选择题1.（2015四川高考，理9）如果函数21281002fxmxnxmn，在区间122，上单调递减，则mn的最大值为（）（A）16（B）18（C）25（D）812【解析】选B.2m时，抛物线的对称轴为82nxm.据题意，当2m时，822nm即212mn.226,182mnmnmn.由2mn且212mn得3,6mn.当2m时，抛物线开口向下，据题意得，8122nm即218mn.28129,22nmnmmn.由2nm且218mn得92m，故应舍去.要使得mn取得最大值，应有218mn(2,8)mn.所以(182)(1828)816mnnn，所以最大值为18.2.（2015北京高考，理2）若x，y满足010xyxyx≤，≤，≥，则2zxy的最大值为（）A．0B．1C．32D．2【解析】选D.如图，先画出可行域，由于2zxy，则1122yxz，令0Z，作直线12yx，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z取得最小值2.3．（2015广东高考，理6）若变量x，y满足约束条件2031854yxyx则yxz23的最小值为（）A．531B.6C.523D.4【答案】C．4.（2015陕西高考，理9）设()ln,0fxxab，若()pfab，()2abqf，1(()())2rfafb，则下列关系式中正确的是（）A．qrpB．qrpC．prqD．prq【解析】选C.()lnpfabab，()ln22ababqf，11(()())lnln22rfafbabab，函数()lnfxx在0,上单调递增，因为2abab，所以()()2abffab，所以qpr．5．(2015湖北高考，理10)设xR，[]x表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得[]1t，2[]2t，…，[]ntn同时成立．．．．，则正整数n的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【解析】选B.因为[]x表示不超过x的最大整数.由1][t得21t，由2][2t得322t，由3][4t得544t，所以522t，所以522t，由3][3t得433t，所以5465t，由5][5t得655t，与5465t矛盾，故正整数n的最大值是4.6.（2015天津高考，理2）设变量,xy满足约束条件2030230xxyxy，则目标函数6zxy的最大值为()（A）3（B）4（C）18（D）40【答案】C7.（2015陕西高考，理10）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元甲乙原料限额（吨）3212（吨）128【解析】选D.设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，则利润34zxy由题意可列32122800xyxyxy，其表示如图阴影部分区域：当直线340xyz过点(2,3)A时，z取得最大值，所以max324318z，故选D．8.（2015山东高考，理5）不等式152xx的解集是（）（A）（-，4）（B）（-，1）（C）（1，4）（D）（1，5）【解析】选A.原不等式同解于如下三个不等式解集的并集;1155()()()152152152xxxIIIIIIxxxxxx解（I）得：1x,解（II）得：14x,解（III）得：x,所以，原不等式的解集为4xx.故选A.9.（2015福建高考，理5）若变量,xy满足约束条件20,0,220,xyxyxy则2zxy的最小值等于()A．52B．2C．32D．2值，解该类题目时候，往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较，否则很容易出错，属于基础题．10.（2015山东高考，理6）已知,xy满足约束条件020xyxyy，若zaxy的最大值为4，则a（）（A）3（B）2（C）-2（D）-3【解析】选B.不等式组020xyxyy在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若zaxy的最大值为4，则最优解可能为1,1xy或2,0xy，经检验，2,0xy是最优解，此时2a；1,1xy不是最优解.故选B.11.（2015湖南高考，理4）若变量x，y满足约束条件1211xyxyy，则3zxy的最小值为（）A.-7B.-1C.1D.2【解析】选A.如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l：30xy，平移l，从而可知当2x，1y时，min3(2)17z的最小值是7，故选A.12.（2015上海高考，理17）记方程①：2110xax，方程②：2220xax，方程③：2340xax，其中1a，2a，3a是正实数．当1a，2a，3a成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根【答案】B13.（2015天津高考，文2）设变量,yx满足约束条件2020280xxyxyì-?ïï-?íï+-?ïî,则目标函数3yzx=+的最大值为（）(A)7(B)8(C)9(D)14【解析】选C.()()513y2289922zxxxy=+=-++-+?,当2,3xy时取得最大值9,故选C.14.（2015浙江高考，文6）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m）分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m）分别为a，b，c，且abc．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A．axbyczB．azbycxC．aybzcxD．aybxcz【解析】选B.由xyz，abc，所以()()()axbyczazbycxaxzczx()()0xzac，故axbyczazbycx；同理，()aybzcxaybxcz()()()()0bzxcxzxzcb，故aybzcxaybxcz.因为()azbycxaybzcx()()()()0azybyzabzy，故azbycxaybzcx.故最低费用为azbycx.故选B.15.（2015重庆高考，文10）若不等式组2022020xyxyxym,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m的值为（）(A)-3(B)1(C)43(D)3【解析】选B.如图，，由于不等式组2022020xyxyxym,表示的平面区域为ABC，且其面积等于43，再注意到直线:20ABxy与直线:20BCxym互相垂直，所以ABC是直角三角形，易知，(2,0),(1,1)ABmm,2422(,)33mmC;从而112222122223ABCmSmmm=43，化简得：2(1)4m，解得3m,或1m，检验知当3m时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以1m;故选B.16.（2015湖南高考，文7）若实数,ab满足12abab，则ab的最小值为()A、2B、2C、22D、4【解析】选C.12121220022,22abababababababab，＞，＞，，（当且仅当2ba时取等号），所以ab的最小值为22，故选C.17.（2015四川高考，文9）设实数x，y满足2102146xyxyxy，则xy的最大值为()(A)252(B)492(C)12(D)1418.(2015广东高考，文4)若变量x，y满足约束条件2204xyxyx，则23zxy的最大值为（）A．10B．8C．5D．2【解析】选C.作出可行域如图所示：作直线0:l230xy，再作一组平行于0l的直线:l23xyz，当直线l经过点时，23zxy取得最大值，由224xyx得：41xy，所以点的坐标为4,1，所以max24315z，故选C．19.（2015湖南高考，文4）若变量xy，满足约束条件111xyyxx，则2zxy的最小值为()A、1B、0C、1D、2【解析】选A.由约束条111xyyxx作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立100,111xyxAyxy＝＝,∴2zxy在点A处取得最小值为1．故选：A．20.（2015福建高考，文10）变量,xy满足约束条件02200xyxymxy，若2zxy的最大值为2，则实数m等于（）A．2B．1C．1D．2【解析】选C.将目标函数变形为2yxz，当z取最大值，则直线纵截距最小，故当0m时，不满足题意；当0m时，画出可行域，如图所示，其中22(,)2121mBmm．显然(0,0)O不是最优解，故只能22(,)2121mBmm是最优解，代入目标函数得4222121mmm，解得1m，故选C．x–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC21.（2015福建高考，文5）若直线1(0,0)xyabab过点(1,1)，则ab的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5【解析】选C.由已知得111ab，则11=()()ababab2+baab，因为0,0ab，所以+2=2babaabab，故4ab，当=baab，即2ab时取等号．22.(2015安徽高考，文5)已知x，y满足约束条件0401xyxyy，则yxz2的最大值是（）（A）-1（B）-2（C）-5（D）1【解析】选A.根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：令yxz2zxy2，可知在图中)1,1(A处，yxz2取到最大值-1,故选A.23.(2015上海高考，文16)下列不等式中，与不等式23282xxx解集相同的是（）.A.2)32)(8(2xxxB.)32(282xxxC.823212xxxD.218322xxx【解析】选B.因为022)1(3222xxx，8x可能是正数、负数或零，所以由)32(282xxx可得23282xxx，所以不等式23282xxx解集相同的是)32(282xxx，选B.24.（2015陕西高考，文11）（与陕西理同）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元甲乙原料限额（吨）3212（吨）128【解析】选D.设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，则利润34zxy由题意可列32122800xyxyxy，其表示如图阴影部分