二次函数区间最值学案

1二次函数的区间最值问题学习目标：会解决二次函数的区间最值问题重点与难点：二次函数的区间最值问题复习回顾：二次函数的有关知识【自主学习】请大家自己回顾下面知识点，看看有哪些知识上的漏洞。一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。引例：设)0()(2acbxaxxf，求fx()在xmn[]，上的最大值与最小值。分析：将fx()配方，得顶点为（），对称轴为（）当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上fx()的最值：1）当时mab2,fx()在mn，上是（）函数,则fx()的最小值是（），最大值是（）；2）当22nmabm时,fx()的最小值是（），fx()的最大值是（）；3）当nabnm22时,fx()的最小值是（），fx()的最大值是（）；4)若时，nab2由fx()在mn，上是（）函数,则fx()的最大值是（），最小值是（）。注：当a0时，可类比得结论。二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。1.轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例1.函数yxx242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。变式：若把区间改为(-1,0]呢？[3,4]呢?3,1呢练习：已知222282yxxyxRyx，求，，的最值。（注：二次式往二次式中代，一定要连同范围一起代）22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例2.如果函数fxx()()112定义在区间tt，1上，求fx()的最小值。变式：若求最大值呢？【小组合作答疑惑】小组讨论，看还有哪些疑问。【师生交流解最难】【小结】观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。注：对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a0时))((212)())((212)()(21max如图如图，，nmabnfnmabmfxf)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxf当a0时，大家自己讨论，写出结果。3【自主学习】请大家自己回顾下面知识点，看看有哪些知识上的漏洞。3、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例3.已知x21，求函数fxxax()23的最值。练习：求函数)(axxy在]1,1[x上的最大值。4.轴变区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。例4：已知函数22,,2fxxaxxaa，求函数fx的最大值和最小值思考：已知)0)((42aaxay，求22)3(yxu的最小值。【小组合作答疑惑】小组讨论，看还有哪些疑问。【师生交流解最难】【小结】【自主学习】请大家自己回顾下面知识点，看看有哪些知识上的漏洞。（二）、逆向型:是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例5.已知函数2()21fxaxax在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值。4练习：已知二次函数在]1,0[x上有最大值2，求a的值。【小组合作答疑惑】小组讨论，看还有哪些疑问。【师生交流解最难】当堂检测1、函数5482xxy的最值为（）)(A最大值为8，最小值为0)(B不存在最小值，最大值为8（C）最小值为0,不存在最大值)(D不存在最小值，也不存在最大值2、已知函数322xxy在闭区间],0[m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(A)),1[(B)]2,0[(C)]2,1[(D)]2,(思考：已知函数2()2xfxx在区间[,]mn上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。aaxxxf12)(2