二次函数基础知识点总结

GFJW0901课题二次函数教学目标重点难点一、全面理解二次函数的定义（1）二次函数有四种表达形式①二次一项式型：形如y=ax2（a是常数，且a≠0），x取任意实数。②二次二项式型：形如y=ax2+bx（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0），x取任意实数。③二次二项式型：形如y=ax2+c（a是常数，且a≠0，c是常数，c≠0），x取任意实数。④二次三项式型：形如y=ax2+bx+c（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0，c是常数，c≠0），x取任意实数。（2）不论是哪一种表示形式，都必须规定a≠0，否则，就没有了二次项，二次函数就没有意义了。（3）二次函数解析式的三种形式（1）一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，a≠0）（2）顶点式：2()yaxhk（a≠0）（3）交点式：12()()yaxxxx（a≠0）说明：当已知抛物线上任意三点或三组x,y的对应值时时，通常设函数解析式为一般式。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，函数最值等及第三点时，设二次函数2()yaxhk，求解。已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常设为交点式作业2二、掌握二次函数的图像和性质①y=ax2（a是常数，且a≠0）的图像和性质②y=ax2+bx（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0）的图像和性质③y=ax2+c（a是常数，且a≠0，c是常数，c≠0）的图像和性质3④y=ax2+bx+c（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0，c是常数，c≠0）的性质a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下顶点坐标是（-ab2，abac442），对称轴是直线x=-ab2。当a＞0时，函数有最小值，y=abac442；a＜0时，函数有最大值，y=abac442；性质，当a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小.三、会结合图像确定y=2ax+bx+c（a是常数，且a≠0，b是常数，b≠0，c是常数，c≠0）的四种符号a的符号：看抛物线的开口方向：开口向上，a＞0；开口向下a＜0;b的符号：有对称轴的位置和的a符号确定：对称轴是y轴，b=0；对称轴在原点的左侧：02ab，对称轴在原点的右侧，02ab；c的符号：看抛物线与y轴交点的位置：4交点在原点，c=0；交点在原点以上，c＞o；交点在原点以下，c＜0。b2－4ac的符号：看抛物线与x轴交点的个数：抛物线与x轴有两个交点b2－4ac＞0；抛物线与x轴有一个交点b2－4ac=0，抛物线与x轴没有交点b2－4ac＜0，四、掌握确定二次函数关系式的基本条件确定二次函数的关系式，要具备的基本条件是：对于表达式是y=ax2（a≠0）的,要确定出待定字母a的值的基本条件是：知道图像上一个点的坐标。对于表达式是y=ax2+bx（a≠0）的,要确定出待定字母a、b的值的基本条件是：知道图像上两个点的坐标。对于表达式是y=ax2+c（a≠0）的,要确定出待定字母a、c的值的基本条件是：知道图像上两个点的坐标。对于表达式是y=a(x-h)2（a≠0）的,要确定出待定字母a、h的值的基本条件是：知道图像上两个点的坐标。对于表达式是y=a(x-h)2+k(a≠0）的,要确定出待定字母a、h、k的值的基本条件是：知道图像上三个点的坐标。特殊条件：知道抛物线的顶点和图像上的一个点的坐标对于表达式是y=ax2+bx+c（a≠0）中,要确定出待定字母a、b、c的值的基本条件是：知道图像上三个点的坐标。这是最基本的理解。五、确定二次函数关系式的基本题型4.1二次函数关系式设为：y=ax2（a≠0）例1、有一座抛物线形拱桥，正常水位时，AB宽为20米，水位上升3米就达到警戒水位线CD，这时水面的宽度为10米。请你在如图1所示的平面直角坐标系中，求出二次函数的解析式。解：根据图象，知道抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标为原点，所以，不妨设二次函数的解析式：y=ax2（a≠0），因为，AB=20，所以，FA=FB=10，因为，CD=10，所以，EC=ED=5所以，点A的坐标为（-10，1y），点C的坐标为（-5，2y），5所以，2y=a×（-5）2=25a，1y=a×（-10）2=100a，因为，EF=3，所以，2y-1y=3，所以，25a-100a=3，解得：a=-251，所以，所求函数的解析式：y=-251x2。小结：当知道抛物线的顶点坐标为原点，且对称轴是y轴时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：①设二次函数的解析式为：y=ax2（a≠0）②把已知点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程；③解方程，求得a值；④把a的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。4.2二次函数关系式设为：y=ax2+bx（a≠0）例2、（2008年巴中市）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线21855yxx，其中y（m）是球的飞行高度，x（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m，如图2所示。（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．（2）请求出球飞行的最大水平距离．（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．解：（1）21855yxx2116(4)55x所以，抛物线21855yxx的开口向下，顶点为1645，，对称轴为直线4x。（2）令0y，得：6218055xx，解得：10x，28x，所以，球飞行的最大水平距离是8m．（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m所以，抛物线的对称轴为5x，顶点为（5，516），设此时对应的抛物线解析式为：y=ax2+bx（a≠0），因为，抛物线经过点（10，0），所以，100a+10b=0，即10a+b=0，因为，抛物线经过点（5，516），所以，25a+5b=516，即5a+b=2516，解得：16125a，b=2532，所以，二次函数的解析式是：2163212525yxx。小结：当知道抛物线经过原点，且抛物线与x轴相交，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：①设二次函数的解析式为：y=ax2+bx（a≠0）②把点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a、b的二元一次方程组；③解方程组，求得a、b值；④把a、b的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。4.3二次函数关系式设为：y=ax2+c（a≠0）例3、桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图3所示，上方可看作是一个经过Ａ、Ｃ、Ｂ三点的抛物线，以桥面的水平线为Ｘ轴，经过抛物线的顶点Ｃ与Ｘ轴垂直的直线为Ｙ轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为２米（图中用线段ＡＤ、ＣＯ、ＢＥ等表示桥柱）ＣＯ＝１米，ＦＧ＝２米（1）求经过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的抛物线的解析式。（2）求柱子ＡＤ的高度。解：因为，抛物线的对称轴是y轴，所以，设二次函数解析式为：y=ax2+c（a≠0），因为，二次函数图象过点C（0，1），所以，c=1，因为，此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为２米（图中用线段ＡＤ、ＣＯ、ＢＥ等表示桥柱），且ＦＧ＝２米，7所以，点F的坐标是（-4，2），所以，16a+1=2，解得：a=161，所以，二次函数的关系式是：y=161x2+1；（2），因为，OD=8米，设点A的坐标是（-8，y），所以，y=161×（-8）2+1=5，因此，柱子ＡＤ的高为5米。小结：当知道抛物线的顶点在y轴上，和抛物线上的一个点A（x1，y1）时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：①设二次函数的解析式为：y=ax2+c（a≠0）②把点的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a，c的二元一次方程组；③解方程组，求得a、c值；④把a、c的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。4.4二次函数关系式设为：y=a(x-h)2（a≠0）例4、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，0），且过点B（3，4）．求该二次函数的解析式。解：设二次函数解析式为：y=a（x-1）2，因为，二次函数图象过点B（3，4），所以，4a=4，解得：a=1，所以，二次函数解析式为：y=（x-1）2，即y=x2-2x+1。小结：当知道抛物线的顶点坐标：M（h，0）和抛物线上的一个点A（x1，y1）时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：①设二次函数的解析式为：y=a（x-h）2a≠0）②把点A的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程；③解方程，求得a值；④把a的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。4.5二次函数关系式设为：y=a(x-h)2+k(a≠0）例5、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0）．求该二次函数的解析式。解：设二次函数解析式为：y=a（x-1）2-4，因为，二次函数图象过点B（3，0），所以，4a-4=0，8解得：a=1，所以，二次函数解析式为：y=（x-1）2-4，，即y=x2-2x-3。六、掌握求抛物线y=ax2+bx+c（a是常数，且a≠0，）顶点坐标的两种方法1、配方法求顶点坐标基本步骤是：①把二次项的系数化成1，各系数提取a，得：y=a（)2acxabx，②在括号里现加上一次项系数一半的平方，接着再减去一次项系数一半的平方，得：y=a（)2acxabx=a【acababxabx222)2()2(】，③配方，并整理，得：y=a（)2acxabx=a【acababxabx222)2()2(】，=a【22244)2(abacabx】，④去掉括号，得：y=a（)2acxabx=a【acababxabx222)2()2(】，=a【22244)2(abacabx】，=aabacabx44)2(22⑤写出函数的坐标：所以，抛物线的顶点坐标是：（-ab2，abac442）。2、公式法求顶点坐标y=ax2+bx+c（a是常数，且a≠0，）的顶点坐标是（-ab2，abac442），在求顶点坐标时，同学们就可以熟记这个式子，把它作为求函数顶点坐标的一个公式来用。用的基本步骤是：①根据y=ax2+bx+c（a是常数，且a≠0），确定a、b、c的值，②代入x=-ab2中，求顶点坐标的横坐标，9③代入x=abac442中，求顶点坐标的纵坐标，④横坐标，纵坐标合起来，写出顶点的坐标。七、熟练应用待定系数法求二次函数的解析式求二次函数的解析式，主要有三种方式，同学们要熟练掌握其条件特点和选择的求解模式。（1）设解析式是一般式条件特点：已知抛物线上任意的三个点的坐标，求解析式当知道抛物线上一般的三个点的坐标：A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：①设二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0）②把点A、B、C的坐标分别代入所设的解析式中，转化成关于a、b、c的三元一次方程组；③解方程组，求得a、b、c的值；④把a、b、c的值分别代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。（2）设解析式是顶点式条件特点：已知抛物线的顶点坐标，和某一个点的坐标，求解析式当知道抛物线的顶点坐标：M（h，k）和抛物线上的一个点A（x1，y1）时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：①设二次函数的解析式为：y=a（x-h）2+k（a≠0）②把点C的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程；③解方程，求得a值；④把a的值代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。（3）设解析式是交点式条件特点：已知抛物线与x轴的交点坐标，和某一个点的坐标，求解析式当抛物线与x轴的交点坐标：A（x1，0）、B（x2，0）、C（x3，y3）时，要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下：①设二次函数的解析式为：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）②把