二次函数的实践与探索

前言《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》要求：“数学教育不仅要使学生获得数学知识，用数学知识去解决实际问题，而且更重要的是：使学生认识到，数学原来就来自我们身边，是认识和解决我们生活中问题的有力武器。”一、教材分析二、设计思路三、教学过程四、几点思考教材分析（一）、地位和作用（二）、学情分析（三）、教学目标分析（四）、教法及学法分析教材分析（一）、地位和作用本节通过有关二次函数实际应用问题的探索和研究，让学生体验数学“建模”思想。并学会合理解释模型，重在培养学生探索精神和创新意识。教材分析（二）、学情分析学生已经学习过了二次函数的图像及其性质，同时已有用数学知识解决实际问题的经验，另外学生个性活泼,思维活跃,积极性高，已初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力。教材分析（三）、教学目标分析知识目标能力目标情感目标——经历和体验用二次函数解决实际问题的过程，进一步体会函数是刻画现实世界的有效数学模型。——培养学生的数学应用能力。——了解数学理论的实用价值，提高学生对数学的好奇心和求知欲；增强学数学的自信心，体现发展性教学评价。教材分析（三）、教学目标分析突破点：利用丰富的素材，充分感知，实现数学化过程。教学难点——实际问题数学化过程教学重点——建立并合理解释数学模型教材分析（四）、教法及学法分析学习方法——自主探索，合作交流教学方法——情景探究，师生互动《基础教育课程改革纲要（试行）》明确要求：“教师在教学过程中应与学生积极互动、共同发展，要处理好传授知识与培养能力的关系，关注个体差异，满足不同学生的学习需要。”教学手段——使用多媒体辅助教学实际问题的提出，说明引入二次函数模型的必要性。设计思路树立用二次函数构建数学模型解决实际问题的思想通过丰富的问题情景，形成用二次函数解决实际问题的一般性策略和方法。合理解释相应的数学模型教学过程分析抛砖引玉，点明主旨自主探索，实践新知拓展转化，加深理解合作探索，学以致用反思小结，形成新知布置作业，巩固新知教学环节教学内容设计思路一、抛砖引玉，点明主旨学生作品演示,引出问题.实际问题的提出，说明引入二次函数模型的必要性。Oxyxyxy学生作品：教学环节设计思路二、自主探索，实践新知某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，树立用二次函数构建数学模型解决实际问题的思想1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？2)如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？例１AOAOyxy=-x²+2x+0.8最大高度顶点纵坐标实际问题与函数知识的对应由y=-x²+2x+0.8配方得y=－(x-1)²+1.8∴最大高度为1.8m函数对应法则的应用喷出的水流距水平面的最大高度是多少？yxAOＢ水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？分析题意：水池为圆形，O点在中央，喷水的落点离开圆心的距离相等。AOyx最小半径线段ＯＢ的长度(Ｂ点的横坐标)∴最小半径为２.３４m自变量的取值范围的实际意义ＢＣ令y＝０,即－(x-1)²+1.8=0则x的值为x1≈2.34x2≈–0.34舍去水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？(不合题意,舍去)教学环节设计思路三、拓展转化，加深理解第三个问是为了解释和应用模型而设,目的是为了更完整的体现数学建模的过程。读题的意图有：1）题目中的问题是不可分割的，暗示学生，建系要有利于解题；2）传递纵观全局的思维方式一个涵洞的截面边缘成抛物线形，如图，当水面宽AB＝1.6m时，测得涵洞顶点与水面的距离为2.4m，ABＢDＡE1）建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数解析式；2)离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？３）一只宽为１m，高为１.5m的小船能否通过？为什么？例2点题分析问题(1)：建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数解析式；yxO点题分析问题(1)：建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数解析式；yxOyxO方法1方法2方法3ＥＤＢＡyxO引导建系标识题意(0.8,0)(-0.8,0)(0,2.4)求出解析式y=-３.75x²+2.4点题分析问题(1)：建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数解析式；ＥＤＢＡyxO(0.8,0)(-0.8,0)(0,2.4)y=-３.75x²+2.4标识题意（难点）(?,1.5)求对应解问题(2)离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？离开水面1.5m点题分析ＥＤＢＡ０xy问题（３）小船宽为１m，高为1.5m，能否通过？能否通过？学生讨论ＥＤＢＡ０xy问题（３）小船宽为１m，高为1.5m，能否通过？当x＝0.5时得y=1.46∵1.461.5∴不能通过难点：这里的y值表示的是涵洞的高探索实际问题的数学模型，实践对应关系的实际应用。F(0.5,0)教学环节教学内容设计思路四、快速反应，知识反馈通过丰富的问题情景，形成用二次函数解决实际问题的一般性策略和方法。阶段小结：实际问题数学问题求出解析式确立坐标系函数性质教学环节教学内容设计思路五、合作探索，学以致用学生以四人小组为单位，在三份作品中任选一份，模仿问题1，问题2的形式，设计一道实践应用的函数练习题。教师选择设计合理，富有创意的题目上台演示，由出题者分析讲演。启发学生编题方式：情景启发、榜样启发、同伴启发学生活动情况可能有：①题目编写正确，情境引人入胜，同时解答正确。②题目编写正确，情境符合实际，解答虽有错，但能在讨论时能发现并改正。③题目编写的情境不错，但数据不当，造成所得结果与实际不符。合理解释相应的数学模型．1）充分利用学生这一重要的教学资源，改变单一的教学方式，体现主体性。2）学生体会合作学习的乐趣；3）促使学生主动提炼现实生活中的数学问题。教学环节教学内容设计思路六、反思小结，形成新知1、学生对所学内容进行总结。2、老师对学生的发言进行归纳、概括：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系。实际问题数学问题数学模型（二次函数）抽象构建解释教学环节教学内容设计思路七、布置作业，巩固新知必做题：1.课本P24.1P24.22.将未上台演示的小组的题目贴于学习园地，继续完成。选做题：如图，一只碗，从侧面观察碗身是一条抛物线，而俯视又是一个圆，已知碗深为5cm，碗口宽为10cm，现向碗中加水，使它刚好漂浮四张半径均为2cm的圆形薄纸片，则加入的水深应是多少？旨在使每个学生都能得到相应的提高。体现了因材施教的教学原则。教学结构概述图片引入问题提出,点明主旨喷泉问题初次感受,树立思想涵洞问题再次感受,形成策略师生小结归纳提高强调方程建模的思想自编自解主动发展，满足不同需要[评价方式]：以发展性教学评价为主，实现评价主体和形式的多样化。一、关于评价方式的思考两点思考课本素材：喷泉问题，涵洞问题。本课处理：二、关于课本素材处理的思考学生活动引入喷泉问题涵洞问题（增设问题１，问题３）自主探索两点思考一双能用数学视角观察世界的眼睛；一个能用数学思维思考世界的头脑；一副为谋国家富强人民幸福的心肠．课题：二次函数的实践与探索