二次型在二次曲面研究中的应用

§6.4二次型在二次曲面研究中的应用前面所讲的二次曲面，它们的方程都是特殊形式，称为二次曲面的标准方程，而二次曲面的一般方程为：0222321231312233222211czbybxbyzaxzaxyazayaxa（1）其中)3,2,1,(,,jicbaiij都是实数.我们记,),,(,),,(321TTbbbbzyxx333231232221131211aaaaaaaaaA其中jiijaa利用二次型的表示方法，方程（1）可表示成下列形式：0cxbAxxTT（2）为研究一般二次曲面的性态，我们需将二次曲面的一般方程转化为标准方程，为此分两步进行.第一步，利用正交变换x=Py将方程（2）左边的二次型xTAx的部分化成标准形：213212211zyxAxxT其中P为正交矩阵，y=(x1,y1,z1)T,相应地有131211zkykxkyPbPybxbTTT于是方程(2)可化为0131211213212211czkykxkzyx(3)第二步,作平移变换,~0yyy将方程(3)化为标准方程,其中,)~,~,~(~zyxy这里只要用配方法就能找到所用的平移变换.以下对(1)当是否为零进行讨论:321,,,,,时0321用配方法将方程(3)化为标准方程:dzyx232221~~~(6-1)根据321,,与d的正负号，可具体确定方程（6-1）表示什么曲面.例如321,,与d同号，则方程（6-1）表示椭球面.（2）当321,,中有一个为0，设03方程（3）可化为：)(~~~032221zzkyx)(~~032221kdyx(6-2)(6-3)根据21,与d的正负号,可具体确定方程(6-2)(6-3)表示什么曲面.例如当21,同号时,方程(6-2)表示椭圆抛物面.当21,异号时,方程(6-2)表示双曲抛物面,(6-3)表示柱面.(3)当321,,中有两个为0,不妨设,032方程(3)可化为下列情况之一:),(~~~)(0021qpzqypxa此时,再作新的坐标变换:2222qpzpyqzqpzqypyxx~~~~~(实际上是绕x~轴的旋转变换),方程可化为:02221yqpx表示抛物柱面;)(~~)(0021pypxb表示抛物柱面;)(~~)(0021qzqxc表示抛物柱面;.~)(坐标面表示，同号，图形无实点，若与平行平面；若异号，表示两个与若yozddddxd001121例13二次曲面由以下方程给出,通过坐标变换,将其化为标准型，并说明它是什么曲面.010122444432222zyxyzxyzyx解将二次曲面的一般方程写成矩阵形式：010xbAxxTT，zyxx，1224b420232022A))((6318923EAA的特征值为,,,036321分别求出它们所对应的特征向量，并将它们标准正交化：,3232311p,3231322p3132323p取P=(p1,p2,p3),则P为正交矩阵.作正交变换x=Py,其中,,,Tzyxy111则有:212136yxxAxT111868zyxyPbbTT)(因此,原方程可化为:010868361112121zyxyx配方得:0721781338612121)()()(zyx令7217138111zzyyxx~,~,~则原方程化为标准方程:083622zyx~~~该曲面为椭圆抛物面.例14将二次曲面z=xy的方程化为标准方程,并说明它是什么曲面.解z=xy可写成xy–z=0,令,zyxx该曲面方程用矩阵形式表示为:00000210210A,100b0xbxAxTT))((2121EAA的特征值为,,,02121321分别求出它们所对应的特征向量,并单位化得:,021211p,021211p1003p取P=(p1,p2,p3)，则P为正交矩阵.作正交变换x=Py,,,,Tzyxy111则有：21212121yxxAxT11110100212102121100zzyxxbT,,因此，所给二次曲面化成标准方程为：0212112121zyx即212112121yxz表示双曲抛物面（马鞍面）.x1y1z(z)oxy图6.18注：所作的正交变换实际上是一个旋转变换，z轴不动，逆z轴方向看去，x轴，y轴顺时针方向旋转450角.例15求xoy面上的椭圆1222cybxyax的面积.其中a＞0,2bac＞0.解设二次型222ycbxyxayxf),(其系数矩阵,cbbaT由于a＞0,cbba2bac＞0,知T正定,故特征值全大于0,其特征多项式为:22baccacbbaTE)(特征方程有两个正的实根:.,22121bac且对实对称矩阵T,存在正交矩阵P使得211PTP故椭圆的标准方程为1212211yx椭圆的两半轴分别为.22111bac故其面积为：,,2111