二次根式知识点及应用

二次根式的知识点及应用知识点一：二次根式的概念形如__________的式子叫做二次根式。（即一个的算术平方根叫做二次根式。注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。练习：下列式子一定是二次根式的是（）A．2xB．xC．22xD．22x知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。例1：使131xx有意义的x的取值范围为____________例2.若2)(11yxxx，则yx=_____________。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。例：若13m没有意义，则m的取值范围为____________。知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注意：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。例：.已知：420xxy,求x-y的值.练习：1..若2)(11yxxx，则yx=_____________。2.已知x,y都是实数,且满足5.011xxy,化简11yy.知识点四：二次根式（）的性质：（）=______（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注意：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则。如：，.知识点五：二次根式的性质：文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注意：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.例：1.化简2244123xxx2.已知,ab是实数，且222aabbba，则a与b的大小关系是（）（A）ab（B）ab（C）ab（D）ab知识点七：二次根式的运算：1.二次根式乘法法则反过来，2.二次根式除法法则反过来，3.二次根式的加减：(一化，二找，三合并)（1）将每个二次根式化为最简二次根式；（满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：①被开方数不含分母；分母中不含根号；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；）（2）找出其中的同类二次根式；(几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。)（3）合并同类二次根式。（系数相加减，被开方数和根指数不变）注：二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用例计算：（1）2484554（2）2332326（3）3393aaaa（4）)459(43332（5）126312817（6）)65)(65(综合测试;1．化简2244123xxx得（）（A）2（B）44x（C）2（D）44x2．已知下列命题：①22525；②2336；③22333aaa④22abab．其中正确的有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个3．若0x，则2xx等于（）（A）0（B）2x（C）2x（D）0或2x4．若0,0ab，则3ab化简得（）（A）aab（B）aab（C）aab（D）aab5.．当12a时，化简214421aaa等于（）（A）2（B）24a（C）a（D）0(0,0)abab(0,0)aabb6．若1ymy，则21yy的结果为（）（A）22m（B）22m（C）2m（D）2m7．若246m与234m化成最简二次根式后的被开方数相同，则m的值为（）（A）203（B）5126（C）138（D）1588．若21x的平方根是5，则41_____x．_____x时，式子534xx有意义．9．已知：最简二次根式4ab与23ab的被开方数相同，则_____ab．10．若x是8的整数部分，y是8的小数部分，则____x，_____y．11．若01x，则221144xxxx等于_____．12．若11x，则211_____xx．13．若0xy，且32xyxyx成立的条件是_____．14．计算下列各题：（1）311520653；（2）32134273108.333aaaaaa15．已知200620070225522522a，求24aa的值．16．已知yx,是实数，且329922xxxy，求yx65的值.17．21．若42yx与212yx互为相反数，求代数式32341yyxx的值.18．已知,223,223ba求代数式的值22abba19．先化简，再求值：215),6()3)(3(aaaaa其中20、（8分）实数a、b在数轴上的位置如图2所示。化简：222)(baba。图2bx01-1