二轮复习解析几何题型与方法罗田一中杨远中

解析几何考试题型分析及解题方法指导罗田一中杨远中解析几何是高中数学的主干知识和核心内容，近几年高考对解析几何的考查一直占有较大的比例,其命题紧扣教材,既全面考查,又突出主干知识,同时强化对思想方法与创新意识的考查，且题型、题量、难度均保持相对稳定。从题型和内容看，客观题主要考查直线、圆、圆锥曲线的基础知识、基本技能、基本方法；解答题重点考查与圆锥曲线有关的交点个数、中点、弦长、范围、最值、定值等问题，并且它多与函数、方程、不等式、数列、导数、三角函数、平面向量等多个知识点结合在一起，综合考查考生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理、运算求解等方面的多种数学思想和数学技能。从2011年湖北试题来看，解析几何的比例有所增加，难度略有提高。对于考生来说，这部分内容的学习与掌握，对数学成绩的提高起着决定性的影响。本文结合对近几年全国各地高考解析几何部分题型和方法的分析，以期归纳试题的特点，把握命题的趋势，探求复习的方法。一、近年来高考解析几何题型分类评析1.基础知识、基本技能与基本方法的考查：【例1】(2011·湖北)过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则直线l的斜率为________．解析：由条件易知直线l的斜率必存在，设为k，圆心(1,1)到直线y＋2＝k(x＋1)的距离为|2k－3|k2＋1＝22，解得k＝1或k＝177，即所求直线l的斜率为1或177。点评：本题主要考查了直线与圆相交求弦长问题、点到直线的距离公式以及计算能力。【例2】(2011·全国)设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝()A．4B．42C．8D．82解析：依题意，可设圆心坐标为(a，a)、半径为r，其中r＝a0，因此圆的方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4,1)得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝2×102－4×17＝8.点评：本题主要考查了圆的方程，切线问题以及方程思想和分析问题、解决问题的能力。【例3】(2011·新课标卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为__________．解析：根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∵e＝22，∴ca＝22.根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝22，所以椭圆方程为x216＋y28＝1.点评：本题主要考查对椭圆离心率的理解、椭圆定义的应用等基础知识，同时考查运算求解能力及数形结合的思想。【例4】(2011·福建)设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1，F2.若曲线T上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线T的离心率等于（）A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32解析：设圆锥曲线的离心率为e，因|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则①若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定义，则有e＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝34＋2＝12；②若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有e＝|F1F2||PF1|－|PF2|＝34－2＝32；综上，所求的离心率为12或32.点评：本题主要考查了圆锥曲线的定义以及性质中的离心率等知识，同时考查了分类讨论思想的应用。【例5】(2011·四川)在抛物线y＝x2＋ax－5(a≠0)上取横坐标为x1＝－4，x2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2＋5y2＝36相切，则抛物线顶点的坐标为()A．(－2，－9)B．(0，－5)C．(2，－9)D．(1，－6)解析：（略）点评：本题综合考查了斜率公式、直线方程、点到直线的距离及抛物线等知识．涉及知识点多，综合性较强，具有创新性。【例6】(2011·重庆)设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________．解析：依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，需圆与抛物线及直线x＝3同时相切，可设圆心坐标是(a,0)(0＜a＜3)，则由条件知圆的方程是(x－a)2＋y2＝(3－a)2.由x－a2＋y2＝3－a2y2＝2x消去y得x2＋2(1－a)x＋6a－9＝0，结合图形分析可知，当Δ＝[2(1－a)]2－4(6a－9)＝0且0＜a＜3，即a＝4－6时，相应的圆满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是3－a＝6－1.点评：本题综合考查了直线与圆及抛物线的位置关系，考查利用数形结合的思想，以及分析问题、解决问题的能力。【例7】(2011·福建)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．解析：(1)由y＝x＋b，x2＝4y得x2－4x－4b＝0，(*)因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0.解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0.解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，故点A(2,1)．因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离．即r＝|1－(－1)|＝2.所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.点评：本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想。【例8】(2011·湖北)如图，直角坐标系xOy所在的平面为α，直角坐标系x′Oy′(其中y′轴与y轴重合)所在的平面为β，∠xOx′＝45°.(1)已知平面β内有一点P′(22，2)，则点P′在平面α内的射影P的坐标为________；(2)已知平面β内的曲线C′的方程是(x′－2)2＋2y2－2＝0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是________．解析：(1)可知二面角α－y－β为45°，点P′到y轴的距离为22，所以点P到y轴的距离为22×cos45°＝2，点P的y轴坐标与点P′的y′轴坐标相同，故点P的坐标为(2,2)．(2)曲线C′的方程可化为＋y2＝1，是一个椭圆．设O′(2，0)，因为2×22＝1，故中心O′在面α内的射影O″的坐标为(1,0)．令曲线C′长轴的一个端点A′(22，0)，由上问可知其对应的射影为A(2,0)，曲线C′短轴的一个端点B′(2，1)，对应的射影为B(1,1)，由O″，B，A三点坐标可知曲线C是一个以(1,0)为圆心，1为半径的圆，方程为(x－1)2＋y2＝1.点评：本题主要考查平面图形的折叠问题、二面角以及利用代入法求圆的方程等知识，涉及空间与平面直角坐标系与斜坐标系的转化．题目综合性强、命题角度新颖．2.圆锥曲线综合问题的考查：【例9】(2011·江西)已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．解析：(1)直线AB的方程是y＝22(x－p2)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以：x1＋x2＝5p4.由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)；设OC＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y23＝8x3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.点评：本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何意义，圆锥曲线与直线的综合类题目中数形结合法是首选，根与系数的关系是解题的有力工具。【例10】(2011·重庆)如图，椭圆的中心为原点O，离心率e＝22，一条准线的方程是x＝22.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P满足：OP＝OM＋2ON，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为－12.问：是否存在定点F，使得|PF|与点P到直线l：x＝210的距离之比为定值？若存在，求F的坐标；若不存在，说明理由．解析：(1)由e＝ca＝22，a2c＝22，解得a＝2，c＝2，b2＝a2－c2＝2，故椭圆的标准方程为x24＋y22＝1.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由OP＝OM＋2ON得(x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(x1＋2x2，y1＋2y2)，即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2.因为点M、N在椭圆x2＋2y2＝4上，所以x21＋2y21＝4，x22＋2y22＝4，故x2＋2y2＝(x21＋4x22＋4x1x2)＋2(y21＋4y22＋4y1y2)＝(x21＋2y21)＋4(x22＋2y22)＋4(x1x2＋2y1y2)＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知kOM·kON＝y1y2x1x2＝－12.因此x1x2＋2y1y2＝0.所以x2＋2y2＝20.所以P点是椭圆上的点，该椭圆的右焦点为F(10，0)，离心率e＝22，直线l∶x＝210是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点F(10，0)，使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值．点评：本题主要考查了椭圆方程的求法和椭圆中的定点与定值等综合问题，题目本身难度较大，需要学生具备较强的运算求解能力，探究问题的能力和抽象概括能力。【例11】(2011·辽宁)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．（1）设12e，求BC与AD的比值；（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．解析：（1）因C1，C2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)xybyxCCababaa设直线:(||)lxtta，分别与C1，C2的方程联立，求得2222(,),(,).abAtatBtatba当13,,,22ABebayy时分别用表示A，B的纵坐标，可知222||3||:||.2||4BAybBCADya（2）当t=0时，l不符合题意.当0t时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即2222,baatatabtta解得222221.abetaabe因为2212||,01,1,1.2etaeee又所以解得所以，当202e时，不存在直线l，使得BO//AN；当212e时，存在直线l使得BO//AN.点评：本题主要考查了椭圆的方程，椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，有一定的难度。【例12】(2011·湖北)平面内与两定点1(,0)Aa，2(,0)Aa(0)a连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上1A、2A两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．（1）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系；（2）当1m时，对应的曲线为1C；对给定的(1,0)(0,)mU，对应的曲线为2C，设1F、2F是2C的两个焦点。试问：在1C上，是否存在点N，使得△1FN2F的面积2||Sma。若存在，求tan∠1FN2F的值；若不存在，请说明理由。解析：（1）设动点为M，其坐标为(,)xy，当xa时，由条件可得12222,MAMAyyykkmxaxaxa即222()mxymaxa，又12(,0),(,0)AaAA