二项式定理单元测试题

二项式定理单元测试题（人教B选修2-3）一、选择题1．设二项式33x＋1xn的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P＋S＝272，则n＝()A．4B．5C．6D．8解析：4n＋2n＝272，∴2n＝16，n＝4.答案：A2.x2＋1xn的展开式中，常数项为15，则n等于()A．3B．4C．5D．6解析：∵Tr＋1＝Cnr(x2)n－r－1xr＝(－1)rCnrx2n－3r，又常数项为15，∴2n－3r＝0，即r＝23n时，(－1)rCnr＝15，∴n＝6.故选D.答案：D3．(1＋2x)3(1－3x)5的展开式中x的系数是()A．－4B．－2C．2D．4解析：(1＋2x)3(1－3x)5＝(1＋6x12＋12x＋8x32)(1－5x13＋10x23－10x＋5x43－x53)，x的系数是－10＋12＝2.答案：C4．在x2－2x6的二项展开式中，x2的系数为()A．－154B.154C．－38D.38解析：该二项展开式的通项为Tr＋1＝C6rx26－r·－2xr＝(－1)rC6r·126－2r·x3－r.令3－r＝2，得r＝1.∴T2＝－6×124x2＝－38x2.答案：C5．C331＋C332＋C333＋…＋C3333除以9的余数是()A．7B．0C．－1D．－2解析：原式＝C330＋C331＋C332＋…＋C3333－C330＝(1＋1)33－1＝233－1＝811－1＝(9－1)11－1＝C110×911－C111×910＋…＋C1110×9×(－1)10＋C1111×(－1)11－1＝C110×911－C111×910＋…＋C1110×9－2＝9M＋7(M为正整数)．答案：A6．已知Cn0＋2Cn1＋22Cn2＋…＋2nCnn＝729，则Cn1＋Cn3＋Cn5的值等于()A．64B．32C．63D．31解析：Cn0＋2Cn1＋…＋2nCnn＝(1＋2)n＝3n＝729.∴n＝6，∴C61＋C63＋C65＝32.答案：B7．(1＋2x)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7＝()A．32B．－32C．－33D．－31解析：令x＝0，得a0＝1；令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a7＝32∴a1－a2＋a3－a4＋a5－a6＋a7＝a0－32＝1－32＝－31.答案：D8．(1＋ax＋by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为()A．a＝2，b＝－1，n＝5B．a＝－2，b＝－1，n＝6C．a＝－1，b＝2，n＝6D．a＝1，b＝2，n＝5解析：令x＝0，y＝1得(1＋b)n＝243，令y＝0，x＝1得(1＋a)n＝32，将选项A、B、C、D代入检验知D正确，其余均不正确．故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)9．若(1－2x)2004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2004x2004(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2004)＝________.(用数字作答)解析：在(1－2x)2004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2004x2004中，令x＝0，则a0＝1，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2004＝(－1)2004＝1，故(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2004)＝2003a0＋a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2004＝2004.答案：200410．若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝________.解析：x3＋x10＝(x＋1－1)3＋(x＋1－1)10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10∴(x＋1)9项的系数为C101(x＋1)9(－1)1＝－10(x＋1)9∴a9＝－10.答案：－1011．(1－x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为__________．解析：(1－x)20的二项展开式的通项公式Tr＋1＝C20r(－x)r＝C20r·(－1)r·xr2，令r2＝1，∴x的系数为C202(－1)2＝190.令r2＝9，∴x9的系数为C2018(－1)18＝C202＝190，故x的系数与x9的系数之差为0.答案：012．若x－ax26展开式的常数项为60，则常数a的值为________．解析：Tr＋1＝C6rx6－r(－a)rx－2r＝C6r(－a)rx6－3r，∴令r＝2得x－ax26的常数项为C62a，∴令C62a＝60,15a＝60，∴a＝4.答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)13．已知x－124xn的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，(1)证明展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有的有理项．解析：由题意：2Cn1·12＝1＋Cn2·122，即n2－9n＋8＝0，∴n＝8(n＝1舍去)，∴Tr＋1＝C8r(x)8－r·－124xr＝－12r·C8rx8－r2·xr4＝(－1)rC8r2r·x16－3r4(0≤r≤8，r∈Z)(1)若Tr＋1是常数项，则16－3r4＝0，即16－3r＝0，∵r∈Z，这不可能，∴展开式中没有常数项；(2)若Tr＋1是有理项，当且仅当16－3r4为整数，∵0≤r≤8，r∈Z，∴r＝0,4,8，即展开式中有三项有理项，分别是：T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x－2.14．求0.9986的近似值，使误差小于0.001.解析：0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)＋15×(－0.002)2＋…＋(－0.002)6，∵T3＝15×(－0.002)2＝0.00006＜0.001.即第3项以后的项的绝对值都小于0.001，∴从第3项起，以后的项可以忽略不计，即0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝0.988.15．(10分)已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N*)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数最小值．解析：(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x的项为Cm1·2x＋Cn1·4x＝(2Cm1＋4Cn1)x，∴2Cm1＋4Cn1＝36，即m＋2n＝18，(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x2的项的系数为t＝Cm222＋Cn242＝2m2－2m＋8n2－8n，∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n，∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n＝16n2－148n＋612＝16n2－374n＋1534，∴当n＝378时，t取最小值，但n∈N*，∴n＝5时，t即x2项的系数最小，最小值为272，此时n＝5，m＝8.16．在(x－y)11的展开式中，求(1)通项Tr＋1；(2)二项式系数最大的项；(3)项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项；(5)项的系数最小的项；(6)二项式系数的和；(7)各项系数的和．解析：(1)Tr＋1＝(－1)rC11rx11－ryr；(2)二项式系数最大的项为中间两项：T6＝－C115x6y5，T7＝C116x5y6；(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项：T6＝－C115x6y5，T7＝C116x5y6；(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故T7＝C116x5y6；(5)项的系数最小的项为T6＝－C115x6y5；(6)二项式系数的和为C110＋C111＋C112＋…＋C1111＝211；(7)各项系数的和为(1－1)11＝0.17．已知(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…a9y9，求：(1)各项系数之和；(2)所有奇数项系数之和；(3)系数绝对值的和；(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和．解析：(1)令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1(2)由(1)知，a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59将两式相加，可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－12，即为所有奇数项系数之和．(3)方法一：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，令x＝1，y＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59；方法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9展开式中各项系数和，令x＝1，y＝1得，|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.(4)奇数项二项式系数和为：C90＋C92＋…＋C98＝28.偶数项二项式系数和为：C91＋C93＋…＋C99＝28.18．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an－1＝29－n，求n.解析：a0＝1＋1＋…＋1＝n，an＝1.令x＝1，则2＋22＋23＋…＋2n＝a0＋a1＋a2…＋an，∴a1＋a2＋…＋an－1＝21－2n1－2－a0－an＝2(2n－1)－n－1＝2n＋1－n－3，∴2n＋1－n－3＝29－n，∴n＝4.