二项式系数性质练习题答案

例1．在()nab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和奎屯王新敞新疆证明：在展开式01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN中，令1,1ab，则0123(11)(1)nnnnnnnnCCCCC，即02130()()nnnnCCCC，∴0213nnnnCCCC，即在()nab的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．说明：由性质（3）及例1知021312nnnnnCCCC.例2．已知7270127(12)xaaxaxax，求：（1）127aaa；（2）1357aaaa；（3）017||||||aaa.解：（1）当1x时，77(12)(12)1x，展开式右边为0127aaaa∴0127aaaa1，当0x时，01a，∴127112aaa，（2）令1x，0127aaaa1①令1x，7012345673aaaaaaaa②①②得：713572()13aaaa，∴1357aaaa7132.（3）由展开式知：1357,,,aaaa均为负，0248,,,aaaa均为正，∴由（2）中①+②得：702462()13aaaa，∴70246132aaaa，∴017||||||aaa01234567aaaaaaaa702461357()()3aaaaaaaa奎屯王新敞新疆例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数奎屯王新敞新疆解：)x1(1])x1(1)[x1(x1)x1()x1(10102）（=xxx)1()1(11，∴原式中3x实为这分子中的4x，则所求系数为711C奎屯王新敞新疆第二课时例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数奎屯王新敞新疆解：∵5552)2x()1x()2x3x(∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为x5C15，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为x80x2C415∴展开式中含x的项为x240)32(x5)x80(1，∴此展开式中x的系数为240奎屯王新敞新疆例5.已知n2)x2x(的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项奎屯王新敞新疆解：依题意2n4n2n4nC14C33:14C:C∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10奎屯王新敞新疆设第r+1项为常数项，又2r510r10rr2r10r101rxC)2()x2()x(CT令2r02r510，.180)2(CT221012此所求常数项为180奎屯王新敞新疆例6．设231111nxxxx2012nnaaxaxax，当012254naaaa时，求n的值奎屯王新敞新疆解：令1x得：230122222nnaaaa2(21)25421n，∴2128,7nn，点评：对于101()()()nnnfxaxaaxaa，令1,xa即1xa可得各项系数的和012naaaa的值；令1,xa即1xa，可得奇数项系数和与偶数项和的关系奎屯王新敞新疆例7．求证：1231232nnnnnnCCCnCn．证（法一）倒序相加：设S12323nnnnnCCCnC①又∵S1221(1)(2)2nnnnnnnnnCnCnCCC②∵rnrnnCC，∴011,,nnnnnnCCCC，由①+②得：0122nnnnnSnCCCC，∴11222nnSnn，即1231232nnnnnnCCCnCn．（法二）：左边各组合数的通项为rnrC11!(1)!!()!(1)!()!rnnnnrnCrnrrnr，∴1230121112123nnnnnnnnnnCCCnCnCCCC12nn．例8．在10)32(yx的展开式中,求:①二项式系数的和;②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;④奇数项系数和与偶数项系数和;⑤x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数rnC,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式yx32中的系数无关.解：设10102829110010)32(yayxayxaxayx(*),各项系数和即为1010aaa,奇数项系数和为0210aaa,偶数项系数和为9531aaaa,x的奇次项系数和为9531aaaa,x的偶次项系数和10420aaaa.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为1010101100102CCC.②令1yx,各项系数和为1)1()32(1010.③奇数项的二项式系数和为910102100102CCC,偶数项的二项式系数和为99103101102CCC.④设10102829110010)32(yayxayxaxayx,令1yx,得到110210aaaa…(1),令1x,1y(或1x,1y)得101032105aaaaa…(2)(1)+(2)得10102051)(2aaa,∴奇数项的系数和为25110;(1)-(2)得1093151)(2aaa,∴偶数项的系数和为25110.⑤x的奇次项系数和为251109531aaaa;x的偶次项系数和为2511010420aaaa.点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.第三课时例9．已知nxx223)(的展开式的系数和比nx)13(的展开式的系数和大992,求nxx2)12(的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.解：由题意992222nn,解得5n.①101(2)xx的展开式中第6项的二项式系数最大,即8064)1()2(55510156xxCTT.②设第1r项的系数的绝对值最大,则rrrrrrrrxCxxCT2101010101012)1()1()2(∴110110101011011010102222rrrrrrrrCCCC,得110101101022rrrrCCCC,即rrrr10)1(2211∴31138r,∴3r,故系数的绝对值最大的是第4项奎屯王新敞新疆例10．已知：223(3)nxx的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项奎屯王新敞新疆解：令1x，则展开式中各项系数和为2(13)2nn，又展开式中二项式系数和为2n，∴222992nn，5n．（1）∵5n，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，∴223226335()(3)90TCxxx，22232233345()(3)270TCxxx，（2）设展开式中第1r项系数最大，则21045233155()(3)3rrrrrrrTCxxCx，∴1155115533792233rrrrrrrrCCrCC，∴4r，即展开式中第5项系数最大，2264243355()(3)405TCxxx．例11．已知)(1222212211NnCCCSnnnnnnnn，求证：当n为偶数时，14nSn能被64整除奎屯王新敞新疆分析：由二项式定理的逆用化简nS，再把14nSn变形，化为含有因数64的多项式奎屯王新敞新疆∵1122122221(21)nnnnnnnnnSCCC3n，∴14nSn341nn，∵n为偶数，∴设2nk（*kN），∴14nSn2381kk(81)81kk0111888181kkkkkkCCCk011228(88)8kkkkCCC（），当k=1时，410nSn显然能被64整除，当2k时，（）式能被64整除，所以，当n为偶数时，14nSn能被64整除奎屯王新敞新疆