五年级奥数专题12观察与归纳

十二观察与归纳(A)年级班姓名得分一、填空题1.找规律,填得数.22=2×2=12×4=4;222=22×22=112×4=484;2222=222×222=1112×4=49284;………………2222222222=()2×____=___________×____=_________________.2.图中第1格内放着一个立方体木块,木块六个面上分别写着FEDCBA,,,,,六个字母,其中A与BD,与CE,与F相对.如果将木块沿着图中方格滚动,当木块滚动到第21个格时,木块向上的面写的字母是______.3.下面是CBA,,三行按不同规律排列的,那么当A=32时,B+C=______.A246810……B1591317……C25101726……4.如图所示,在左上角(第一行第一列)的位置上画上第1个点,然后按箭头方向依次画上第2,3,4,…个点.那么,第1999个点在第______行第______几列.5.有一张黑白相间的相间的方格纸,用记号(2,3)表示从上往下数第2行,从左往右数第3列的这一格(如图),那么(19,98)这一格是______色.6.如图所示,在正六边形A周围画出6个同样的正六边形(阴影部分),围成第1圈;在第1圈外面再画出12个同样的正六边形,围成第2圈;…….按这个方法继续画下去,当画完第9圈时,图中共有______个与A相同的正六边形.7.下面是按规律列的三角形数阵:11112113311464115101051………………那么第1999行中左起第三个数是______.8.将数1到30排成EDCBA,,,,五列按下表的格式排下去,300是在______列.ABCDE1234598761011121317161514181920212524232226*******9.如图是一个大表的一部分,表中将自然数按从小到大的顺序排成螺旋形,在2处拐第一个弯,在3处拐第二个弯,在5处拐第三个弯,……,那么第18个拐弯的地方是______.10.一个人从中央(标有0)的位置出发,向东、向北各走1千米,再向西、向南各走2千米,再向东、向北走3千米,向西、向南各走4千米,……,如此继续下去.他每走1千米,就把所走的路程累计数标出(如图),当他走到距中央正东100千米处时,他共走了______千米.432501东6789二、解答题11.将自然数1,2,3,4…按箭头所指方向顺序排列(如图),依次在2,3,5,7,10…等数的位置处拐弯.(1)如果2算作第一次拐弯处,那么第45次拐弯的数是什么?(2)从1978到2010的自然数中,恰好在拐弯处的数是什么?12.下图是一张把自然数按一定顺序排列的数表,用一个有五个空格的十字可以框出不同的五个数字,现在框出的五个数字的四个角上的数字之和是80,如果当框出的五个数字的和是500时,四个角上数字的和是多少?123456789101112131415161718192021222324252627284344454647484950422122232425265141207891027524019612112853391854312295438171615141330553736353433323156646362616059585713.如图,在一张方格纸上画折线(用实线表示的部分),图中每个小方格的边长为1,从A点出发依次给每条直线段编号.(1)编号1994的直线段长是多少?(2)长度为1994的直线段的编号是多少?14.把1到1997这1997个数,按顺时针方向依次排列在一个圆圈上(如图).从1开始按顺时针方向,保留1,擦去2;保留3,擦去4;……(每隔一个数,擦去一个数)转圈擦下去,最后剩的是哪个数?十二观察与归纳(B)年级班姓名得分一、填空题1.先观察前面三个算式,从中找出规律,并根据找出的规律,直接在()内填上适当的数.(1)123456789×9=1111111101,(2)123456789×18=2222222202,(3)123456789×27=3333333303,(4)123456789×72=(),(5)123456789×63=(),(6)6666666606÷54=(),(7)9999999909÷81=(),(8)5555555505÷123456789=().2.将下列分数约成最简分数:4666666666661666666666=____________.3.在所有的两位数中,十位数字比个位数字大的两位数有____个.4.大于1的整数加下图所示,排成8列,数1000将在第____列.2345987610111213171615145.将所有自然数如下图排列.15120这个数应在第____行第____个位置上.123456789101112131415166.11个数排成一列,相邻三个数之和等于20.已知第2个数是1,第13个数是9,第9个数是____.7.一数列相邻四个数的和都是45,已知第6个数是11,第19个数是5,第44个数是24,那么第一个数是____.8.数列1,1991,1990,1,1989,1988,1,…从第三个数起,每个数是前两个数的差,这个数列中第一个零出现在第____项.9.例6中第70个数被5除余____.10.如下图,有一个六边形点阵,它的中心是个点,算作第一层;第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点);第三层每边有三个点,……这个六边形点阵共有n层,第n层有____个点,这个点阵共有____个点.二、解答题11.现有如下一系列图形:当n=1时,长方形ABCD分为2个直角三角形,总计数出5条边.当n=2时,长方形ABCD分为8个直角三角形,总计数出16条边.当n=3时,长方形ABCD分为18个直角三角形,总计数出33条边.……按如上规律请你回答:当n=100时,长方形ABCD应分为多少个直角三角形?总计数出多少条边?12.下面的(a)、(b)、(c)、(d)为四个平面图.数一数,每个平面图各有多少个顶点?多少条边?它们分别围成了多少个区域?请将结果填入下表(按填好的样子做).顶点数边数区域数(a)463(b)(c)(d)观察上表,推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?现已知某个平面图有999个顶点,且围成了999个区域,试根据以上关系确定这个图有多少条边.13.全体奇数排成下图形式,十字框子框出5个数,要使这五个数之和等于,(1)1989;(2)1990;(3)2005;(4)2035,能否办到?若能办到,请你写出十字框中的五个数.135791113151719212325272931333537394143454714.有一列数1,3,4,7,11,18…(从第三个数开始,每个数恰好是它前面相邻两个数的和).(1)第1991个数被6除余几?(2)把以上数列按下述方法分组(1),(3,4),(7,11,18)…(第n组含有n个数),问第1991组的各数之和被6除余数是几?———————————————答案——————————————————————答案1.111111111,4;12345678987654321,4;49382715950617284.根据已知等式的观察和分析,可知算式演变规律有两种形式:其一是等积恒变;其二是11×11=121,111×111=12321,…….2222=222×222=1112×4=49284;2222222222=1111111112×4=12345678987654321×4=49382715950617284.2.A木块沿直线滚动4格,与原来的状态相同,所以木块到第5,9,13,21格时,与在第1格的状态相同,写的字母是A.3.318由数表可知A和B都是等差数列,根据等差数列的通项公式dnaan)1(1进行解答.当nA32时,n=(32-2)×21+1=16;当n=16时,16B=1+(16-1)×4=61.再由数表可知C数列的相邻两项的差值3,5,7,9,11,…,31组成等差数列,根据等差数列求和公式nS(naa1)×n×21进行解答.这15个差值的和是(3+31)×15×21=255,则当n=16时,16c=2+255=257.因此,1616CB=61+257=318.4.27,45.正长形网格内的所有格点数之和必是平方数,如2×2方格网中共有格点32=9(个),3×3方格网中共有格点42=16(个).因为1999=442+63=452-26,所以第1999个点必在第45行或第45列上.因为第452点在第1行第45列上,而1999=452-26,从第1行倒退26行,所以第1999个点在第27行第45列上.5.白观察归纳得:“行数+列数=奇数”时为白色,“行数+列数=偶数”时为黑色.而19+98为奇数,因此(19-98)这一格是白色.6.271提示:第n几圈有6n个正六边形,所以共有1+6×(1+2+…+9)=271(个).7.1995003第三行左起第三个数是1=1;第四行左起第三个数是3=1+2;第五行左起第三个数是6=1+2+3;第六边左起第三个数是10=1+2+3+4;……归纳可知,第1999行左起第三个数是1+2+3+…+1997=219981997=1995003.8.D根据表中所列数据可以看出,除1以外,图中的连续自然数按8个数为一个周期如表格所示的规律排列,300=1+(37×8+3),余数为3,所以300是在D列.ABCDE234598769.91观察拐弯处的数的规律,可得第n个拐弯处的数:当n为奇数时为1+(1+3+5+…+n);当n为偶数时为1+2×(1+2+3+…+2n).将n=18代入,得91.10.39700观察右下角拐弯处的数的规律:第1个拐弯处为1=12=(2×1-1)2;第2个拐弯处为9=32=(2×2-1)2;第3个拐弯处为25=52=(2×3-1)2;…….因此第n个拐弯处的数为(2n-1)2.距中央正东100千米处为他走到右下角的第100个拐点处再向北99千米处,故他共走了(2×100-1)2+99=39700(千米).11.观察拐弯处的数的规律,可以得到n个拐弯处的数,当n为奇数时为1+(1+3+5+…+n)=(21n)2+1;当n为偶数时为1+2×(1+2+3+…+2n)=(1+2n)×2n+1.(1)第45次拐弯处的数是(2145)2+1=530.(2)试算n=89时,拐弯处的数是(2189)2+1=2026;n=88时,拐弯处的数是(1+288)×288+1=1981;n=87时,拐弯处的数是(2187)2+1=1937;所以1978~2010中,恰在拐弯处的数是1981.12.仔细观察十字框中的五个数里,中间一个是这五个数的平均值,也是其余四个数的平均值,所以中间一个数可由500÷5=100得到,且即得四个角上数字这和为100×4=400.13.通过观察列出编号与长度的关系表:编号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)……长度12345……从表中看出:长度为n的线段编号为2n-1和2n.(1)编号为1994的线段长为:1994÷2=997.(2)长度为1994的线段有两条,编号分别为:1994×2-1=3987;1994×2=3988.14.如果依照题意在上图中进行操作,直到剩下一个数为止,实在是很困难的.我们还应从最简单的情况入手分析,归纳出解决问题的规律,再用此规律解题.如果是2个数1,2,最后剩下1;如果是3个数1,2,3,最后剩下3;如果是4个数1,2,3,4,最后剩下1;如果是5个数1,2,3,4,5,最后剩下3;如果是6个数1,2,3,4,5,6,最后剩下5;如果是1-7,7个数,最后剩下7;如果是1-8,8个数,最后剩下1.我们发现当数的个数是2,4,8时,最后剩下的都是1.实际上,当数的个数为n2时(2n),当擦完一圈后还剩12n个数,把问题化成12n个数的情况.不断作下去,最后化为2个