交大刘迎东微积分第八章习题87答案

8.7方向导数与梯度习题8.71.求函数22zxy在点1,2处沿从点1,2到点2,23的方向的方向导数。解：1,21,22,22,4.zxy方向为1,3，单位化得13,22，所以方向导数为123.2.求函数zxy在点,xy沿方向cos,cosl的方向微商，并求在这点的梯度和最大的方向微商及最小的方向微商。解：,coscoscoscos.xyzzzyxlxy,,.xyzyx最大的方向微商为22xy，最小的方向微商为22.xy3.求函数arctanxazyb在点00,xy处的梯度向量.gradz解：0000222,,00222200001,11,xyxyxaybybgradzxaxaybybybaxxaybxayb4.设有二元函数22,12,fxyxxyxy求在点00,xy处,fxy的绝对值减少最快的方向。解：2,,,fxyfxy其在00,xy处梯度向量为000022,2222,,,,,,,,,222,22,,,yxxyxyfxyfxyfxyfxyfxyfxyfxyxyxyfxyxxyfxyfxy所以在点00,xy处,fxy的绝对值减少最快的方向是2200000000000,,,fxyyxxyfxyxxy5.求函数22uxxyy在点1,1处的最大方向微商与最小方向微商。解：1,11,1u，所以最大方向微商为2,最小方向微商为2.6.设222rxyz，求1,.gradrgradr解：3331,,,,,.xyzxyzgradrgradrrrrrrr7.求函数lnzxy在抛物线24yx上点1,2处，沿此抛物线在该点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数。解：抛物线24yx上点1,2处切向量为1,2,11,12y，单位化为11,22，而1,211111,2,,33zxyxy，所以方向导数为2.38.求函数22221xyzab在点,22ab处沿曲线22221xyab在这点的内法线方向的方向导数。解：曲线22221xyab在点,22ab处的法线方向22,2211,,22abxyabab，内法线方向为,ba，单位化为2222,baabab，而22,222222,,,22ababxyzabab，所以方向导数为222.abab9.求函数23uxyzxyz在点1,1,2处沿方向角为,,343的方向的方向导数。解：方向为121,,222，而221,1,21,1,2,2,31,0,11uyyzxyxzzxy，所以方向导数为5.10.设过椭球面222236xyz上点1,1,1P处的指向外侧的法向量为n。求函数2268xyuz在点P处沿方向n的方向导数。解：过椭球面222236xyz上点1,1,1P处的指向外侧的法向量为1,1,14,6,24,6,2nxyz，单位化为231,,141414，而22222221,1,16868681,1,1,,,,1414146868xyxyuzzxyzxy，所以方向导数为11.711.求函数uxyz在点5,1,2处沿从点5,1,2到点9,4,14的方向的方向导数。解：5,1,25,1,2,,2,10,5.uyzxzxy方向为4,3,12，单位化得4312,,131313，所以方向导数为98.1312.求函数222uxyz在曲线23,,xtytzt上点1,1,1处，沿曲线在该点的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数。解：1,1,11,1,12,2,22,2,2.uxyz方向为1,2,3，单位化得123,,141414，所以方向导数为12.1413.求函数uxyz在球面2221xyz上点000,,xyz处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数。解：000,,1,1,1.uxyz方向为0002,2,2xyz，单位化得000,,xyz，所以方向导数为000.xyz14.设,ufxy在点000,Mxy处可微，在点0M给定n个单位向量1,2,,ilin，相邻两个向量之间的夹角为2n，证明10.niifl证明：000000111,,,00.nnniiiiiiffxylfxylfxyl15.求函数3333uxyzxyz的梯度。并问在何处其梯度（1）垂直于z轴；（2）平行于z轴；（3）等于零。解：22233,33,33uxyzyxzzxy，若垂直于z轴，则2330zxy，即点为2,,xyzzxy。若平行于z轴，则22,xyzyxz，即点,,xxx。若等于零，则222,,xyzyxzzxy即点,,xxx。16.求函数222xuxyz在点1,2,2A与3,1,0B处两梯度之间的夹角。解：22222222222222222,,yzxxyxzuxyzxyzxyz，所以744861,2,2,,,3,1,0,,0818181100100uu，其夹角为8arccos.917.设222,,23326,fxyzxyzxyxyz求0,0,0gradf及1,1,1gradf。解：0,0,00,0,023,42,663,2,6.gradfxyyxz1,1,11,1,123,42,666,3,0.gradfxyyxz18.设函数,,,,,uxyzvxyz的各个偏导数都存在且连续，证明：（1）(cucuc为常数）；证明：,,,,,,.cucucuuuuuuucucccccuxyzxyzxyz（2）;uvuv证明：,,,,,,,,.uvuvuvuvuvuvuvxyzxxyyzzuuuvvvuvxyzxyz（3）;uvvuuv证明：,,,,,,,,.uvuvuvuvuvuvuvvuvuvuxyzxxyyzzuuuvvvvuvuuvxyzxyz（4）2;uvuuvvv证明：22222,,,,,,,,.uvuuuuvuvvuvuvuuyyvvvxxzzvxyzvvvuuuvvvvuxyzxyzvuuvvv19.求函数2uxyz在点01,1,2P处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数。解：221,1,21,1,2,2,2,4,1uyzxyzxy，增加最快的方向为2,4,1，方向导数为21.减少最快的方向为2,4,1，方向导数为21.20.设cos,sinle，求函数22,fxyxxyy在点1,1沿方向l的方向导数，并分别确定角，使得此导数（1）有最大值；（2）有最小值；（3）等于零。解：1,11,12,21,1fxyyx，1,1cossinfl。当4时取最大值；当54时取最小值；当37,44时等于零。21.求函数222uxyz在椭球面2222221xyzabc上点0000,,Mxyz处沿外法线方向的方向导数。解：椭球面2222221xyzabc在点0000,,Mxyz处外法线方向为000222,,xyzabc，单位化为000222222222222000000000444444444,,xyzabcxyzxyzxyzabcabcabc，而000000000,,,,2,2,22,2,2xyzuxyzxyzxyz，所以方向导数为2220004442.xyzabc