交大大物答案第二章

1习题2-1.质量为m的子弹以速度0v水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2)子弹进入沙土的最大深度。解：（1）由题意和牛顿第二定律可得：dtdvmkvf，分离变量，可得：vdtdvmk两边同时积分，所以：tmkevv0（2）子弹进入沙土的最大深度也就是v=0的时候子弹的位移，则：由vdtdvmk可推出：dvkmvdt，而这个式子两边积分就可以得到位移：00max0vmmxvdtdvvkk。2-2.一条质量分布均匀的绳子，质量为M、长度为L，一端拴在竖直转轴OO′上，并以恒定角速度在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r处绳中的张力T(r)．解：在绳子中距离转轴为r处取一小段绳子，假设其质量为dm，可知：LMddm，分析这dm的绳子的受力情况，因为它做的是圆周运动，所以我们可列出：LMdrrrdmrdT22）（。距转轴为r处绳中的张力T(r)将提供的是r以外的绳子转动的向心力，所以两边积分：）（）（）（2222rLLMrdTrTLr22-3.已知一质量为m的质点在x轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离x的平方成反比，即2/xkf，k是比例常数．设质点在Ax时的速度为零，求质点在4/Ax处的速度的大小。解：由题意和牛顿第二定律可得：dxdvmvdtdxdxdvmdtdvmxkf2再采取分离变量法可得：mvdvdxxk2，两边同时取积分，则：mvdvdxxkvAA024/所以：mAkv62-4.一质量为kg2的质点，在xy平面上运动，受到外力jiF2244t(SI)的作用，0t时，它的初速度为jiv430(SI)，求st1时质点的速度及受到的法向力nF.解：由题意和牛顿第二定律可得：dtdmmvaf，代入f与v，并两边积分，vjimddttvv0)244(210，)]43([284jivjiiv5速度是i方向，也就是切向的，所以法向的力是j方向的，则24Fj2-5.如图，用质量为1m的板车运载一质量为2m的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为，车与路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力F为多少才能保证木箱不致滑动？3解：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，所以列式：21222msxFmgfammmm可得：gmmF)(212-6.如图所示一倾角为的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为)(tg。为使木块相对斜面静止，求斜面加速度a的范围。解：在斜面具有不同的加速度的时候，木块将分别具有向上和向下滑动的趋势，这就是加速度的两个范围，由题意，可得：（1）当木块具有向下滑动的趋势时（见图a），列式为：mgNNcossinmaNNcossin可计算得到：此时的tan1tan1ag（2）当木快具有向上滑动的趋势时（见图b），列式为：cossinNmgNmaNNcossin可计算得到：此时的tan1tan2ag所以tantan1tan1tangag42-7.一质量为M、顶角为的三角形光滑物体上。放有一质量为m的物块，如图所示。设各面间的摩擦力均可忽略不计。试按下列三种方法：（1）用牛顿定理及约束方程；（2）用牛顿定律及运动叠加原理；（3）用非惯性系中力学定律；求解三角形物块的加速度Ma.解：隔离物块和斜面体，画图分析力，列出方程，发现方程完备性不够，即未知数比方程数多，关键在于，M与m的运动有联系的，M沿地面运动，m沿斜面运动，这就是约束条件。取地面作为参考系，则m的运动为：sinxNma（1）cosyNmgma（2）M的运动方程为：sinMNMa（3）下面列出约束条件的方程：取M作为参考系，设m在其中的相对加速度为a，在x,y方向的分量分别为xa与ya，那么：tanyxaa利用相对运动的公式，aaaMm所以：Mxxaaayyaa5于是：tanyyxxMaaaaa即：sincossinxyMaaa（4）由（1）（2）（3）（4）联立，计算可得：2sincossinMmagMm2-8.圆柱形容器内装有一定量的液体，若它们一起绕圆柱轴以角速度匀速转动，试问稳定旋转时液面的形状如何？解：受力分析如图ymsinN2ωΔα（1）mgcosNΔα（2）两式相比dydzgytan2ωαdygydz2ωCygωz222当0y时0zz所以0zC0222zygωz稳定旋转时液面是一个抛物面由于旋转后成为立体，故方程变为【2220()2zxyzg】62-9.质量为2m的物体可以在劈形物体的斜面上无摩擦滑动，劈形物质量为1m，放置在光滑的水平面上，斜面倾角为，求释放后两物体的加速度及它们的相互作用力。解：隔离物块和斜面体，分析力，列出方程，发现方程完备性不够，即未知数比方程数多，关键在于，m1与m2的运动有联系的，m1沿地面运动，m2沿斜面运动，这就是约束条件。取地面作为参考系，则m2的运动为：xamN2sin（1）yamgmN22cos（2）m1的运动方程为：11sinNma（3）下面列出约束条件的方程：取m1作为参考系，设m2在其中的相对加速度为a，在x,y方向的分量分别为xa与ya，那么：xyaatan利用相对运动的公式，21aaa所以：1xxaaayyaa于是：1tanyyxxaaaaa即：1sincossinxyaaa（4）由（1）（2）（3）（4）联立，计算可得：21212sincossinmagmm；12212sincossinmagmm；12212()sinsinmmagmm7zrO相互作用力N=gmmmm22121sincos2-10.一小环套在光滑细杆上，细杆以倾角绕竖直轴作匀角速度转动，角速度为，求：小环平衡时距杆端点O的距离r.解：根据题意，当小环能平衡时，其运动为绕Z轴的圆周运动，所以可列式：mgNsinsincos2rmN所以，可得：sintan2gr2-11.设质量为m的带电微粒受到沿x方向的电力iF)(cxb，计算粒子在任一时刻t的速度和位置，假定0t时，0,000xv.其中cb、为与时间无关的常数，m、F、x、t的单位分别为kg、N、m、s.解：根据题意和牛顿第二定律，可列式：22)(dtdmcxbxiF，整理可得二阶微分方程：022bcxdtdmx。令mc2下面分c为正负再做进一步讨论。当00222mbxdtdcx时，，可得：cbtcbxcos一次求导，得到：tcbvsin8当00222mbxdtdcx时，，可得：cbeecbxtt)(2一次求导，得到：)(2tteecbv2-12.在光滑的水平面上设置一竖直的圆筒，半径为R，一小球紧靠圆筒内壁运动，摩擦系数为，在0t时，球的速率为0v，求任一时刻球的速率和运动路程。解：在法向上有RvmN2而Nμf在切向上有dtdvmf由上面三个式子可得Rvμdtdv2dtRμdvvtvv0201tμvRRvv00)1ln(00000RtμvμRtμvRdtRvvdtStt思考题2-1.质量为m的小球，放在光滑的木板和光滑的墙壁之间，并保持平衡，如图所示．设木板和墙壁之间的夹角为，当逐渐增大时，小球对木板的压力将怎样变化？解：假设墙壁对小球的压力为N1，木板对小球的压力为N2。由受力分析图可知：9mgNsin2所以当所以增大，小球对木板的压力为N2将减小；同时：12cosNNmgctgN1所以增大，小球对墙壁的压力1N也减小。2-2.质量分别为m1和m2的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为μ，系统在水平拉力F作用下匀速运动，如图所示．如突然撤消拉力，则刚撤消后瞬间，二者的加速度aA和aB分别为多少？解：分别对A，B进行受力分析，由受力分析图可知：gmmF)(21gmkxF1gmkx2所以.0,121BAagmmma2-3.如图所示，用一斜向上的力F(与水平成30°角)，将一重为G的木块压靠在竖直壁面上，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明木块与壁面间的静摩擦系数的大小为多少？解：假设墙壁对木块的压力为N，由受力分析图可知：NGFsincosFN整理上式，并且根据题意，如果不论用怎样大的力F，都不能使木块向上滑动，则说明：FGF2321即当FF2321此式中F无论为多大，10总成立，则可得：332-4.质量分别为m和M的滑块A和B，叠放在光滑水平桌面上，如图所示．A、B间静摩擦系数为s，滑动摩擦系数为k，系统原处于静止．今有一水平力作用于A上，要使A、B不发生相对滑动，则F应取什么范围？解：根据题意，分别对A，B进行受力分析，要使A，B不发生相对滑动，必须使两者具有相同的加速度，所以列式：MmgMmFasmsx可得：gMMmmFs）（2-5.如图，物体A、B质量相同，B在光滑水平桌面上．滑轮与绳的质量以及空气阻力均不计，滑轮与其轴之间的摩擦也不计．系统无初速地释放，则物体A下落的加速度是多少？解：分别对A，B进行受力分析，由受力分析图可知：111amTgm222amT1221aa则可计算得到：ga5412-6.如图所示，假设物体沿着竖直面上圆弧形轨道下滑，轨道是光滑的，在从A至C的下滑过程中，下面哪个说法是正确的？(A)它的加速度大小不变，方向永远指向圆心。(B)它的速率均匀增加。(C)它的合外力大小变化，方向永远指向圆心。11(D)它的合外力大小不变。(E)轨道支持力的大小不断增加。在下滑过程中，物体做圆周运动。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的说法不对；速率的增加由重力沿切线方向的分力提供，由于切线方向始终在改变，所以速率增加不均匀；外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在变化，所以合力的大小方向也在变化。C，D的说法都不对。下滑过程中的θ和v都在增大，所以N也在增大，RvmmgN2sin则E的说法正确。2-7.一小珠可在半径为R的竖直圆环上无摩擦地滑动，且圆环能以其竖直直径为轴转动．当圆环以一适当的恒定角速度转动，小珠偏离圆环转轴而且相对圆环静止时，小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为多大？解：根据题意，当小珠能相对于圆环平衡时，其运动为绕Z轴的圆周运动，假设小珠所在处圆环半径偏离竖直方向的角度为θ，可列式：mgNcossinsin2RmN所以，可得：Rg2cos2-8.几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一竖直面上（如图所示）．为使一物体（视为质点）从斜面上端由静止滑到下端的时间最短，则斜面的倾角应选(A)60°．(B)45°．(C)30°．(D)15°．解：根据题意，假设底边长为s，斜面的倾角为θ，可列式：cossin212stg122sin42gst当θ=45。时，时间最短。2-9.如图所示，小球A用轻弹簧AO1与轻绳AO2系住；小球B用轻绳BO1与BO2系住，今剪断AO2绳和BO2绳，在刚剪断的瞬间，A、B球的加速度量值和方向是否相同？解：不同。对于a图，在剪断绳子的瞬间，弹簧的伸长没有变化，所以弹簧的拉力F不变，A的加速度应该是由重力和弹簧的拉力提供的合力T，所以：maTFsinmgFcos所以加速度大小为：t