人教A版高中数学必修一211指数与指数幂的运算

2.1.1指数与指数幂的运算教学目标：知识与技能：理解根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算。过程与方法：通过与初中所学的知识进行类比，理解掌握根式。情感与价值观：通过运算训练，培养学生严谨治学一丝不苟的学习习惯。教学重点：根式概念的理解与运算。教学难点：根式概念的理解与运算。教学过程设计意图一、创设情景，引入新课师：你们知道考古学家是怎样来判断生物的发展与进化的吗？生：对生物体化石的研究.师：那么他们是怎样来判断该生物体所处的年代的?你们知道吗?问题：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题：当生物死亡了5730，2×5730，3×5730，…年后，它体内碳14的含量P分别为原来的多少?生：21，（21）2，（21）3，….师：当生物体死亡了6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P分别为原来的多少?生：（21）57306000，（21）573010000，（21）5730100000.师：由以上的实例来推断关系式应该是什么?生：P=（21）5830t.师：考古学家根据上式可以知道，生物死亡t年后，体内碳14含量P的值.那么这些数（21）57306000，（21）573010000，（21）5730100000的意义究竟是什么呢？它和我们初中所学的指数有什么区别?生：这里的指数是分数的形式.师：指数可以取分数吗?除了分数还可以取其他的数吗?我们对于数的认识规律是怎样的?通过考古的问题引发学生的学习兴趣。同时让学生体会其中的函数模型并且激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣，为学习新知做出铺垫。通过与初中的知识比较回顾中学所学习的指数是整数指数幂的，同时让学生认识到分数指数幂存在的必要性。生：自然数——整数——分数（有理数）——实数.师：指数能否取分数（有理数）、无理数呢？二、讲解新课（一）探求n次方根的概念师：32=9，那么，在这个等式中3对于9来说，扮演着什么角色？9对于3来说又扮演着什么角色呢?生：9叫做3的平方数，3叫做9的平方根.师：若53=125，那么125对于5来说，扮演着什么角色？5对于125来说又扮演着什么角色呢?生：125是5的立方数，5是125的立方根.师：如果x2=a，那么x对于a来说扮演着什么角色？生：x是a的平方根.师：现在请同学们回顾一下平方根与立方根的概念。生：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。即:如果x2=a，则x为a的平方根如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。即:如果x3=a，则x为a的立方根师：如果x4=a，x5=a，又能得到什么样的结论呢？生：如果一个数的四次方等于a，那么这个数叫做a的四次方根；如果一个数的五次方等于a，那么这个数叫做a的五次方根.师：①如果x2=a，那么x叫做a的平方根；②如果x3=a，那么x叫做a的立方根；③如果x4=a，那么x叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论？生：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根.师：上述结论中的n的取值有没有什么限制呢？师板书如下定义：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*（二）概念理解课堂训练：试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.（1）25的平方根是________；（2）27的三次方根是________；（3）－32的五次方根是________；（4）16的四次方根是________；（5）a6的三次方根是________；（6）0的七次方根是________.方法引导：在n次方根的概念中，关键的是数a的n次方根x满足xn=a，因此求一个数a的n次方根，就是求出哪个数的n次方等于a.（三）n次方根的性质师：请同学们再次观察上述各数的方根，大家能得到什么样的结论？通过实例让学生回顾平方根与立方根的概念，同时引发学生思考，总结归纳出n次方根的概念。学生探索，完善n次方根的定义，并强调n的取值范围。（多媒体显示，生完成）通过习题训练加深学生对n次方根的理解和记忆。生：第（1）、第（4）的答案有两个，第（2）、第（3）、第（5）、第（6）的答案只有一个；第（1）题的答案中的两个值互为相反数.0的方根还是0.师：通过上述各题我们能不能得到有关n次方根性质的一般性结论呢？.生：一个数的奇次方根只有一个，一个数的偶次方根有两个，且互为相反数。师：任何数都有偶次方根吗？为什么？生：负数没有偶次方根。因为任何数的偶次方都是整数。师：对于0我们应该如何规定它的n次方根呢？生：0的任何次方根都是0.因为0的任何次方都等于0。总结：n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广，因此跟立方根和平方根的情况一样，方根也有如下性质：（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n次方根用符号na表示.（2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号－na表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成±na（a＞0）.注：①负数没有偶次方根；②0的任何次方根都是0，记作n0=0；（四）根式的概念师：我们在学习平方根和立方根的概念时了解过根式，并且知道a叫做被开发数，那么在n次方根中有没有根式的概念？生：式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.例如56叫做根式，其中5叫做根指数，6叫做被开方数.师：根据n次方根的意义我们知道（na）n（五）n次方根的运算性质求下列各式的值：（1）（5）2；（2）33)2(；（3）44)2(；（4）2)3(a（a＞3）.解：（1）（5）2=5；（2）33)2(=－2；（3）44)2(=|－2|=2；（4）2)3(a=|3－a|=a－3.师：在上述例子中主要涉及了（na）n与nna的问题.请同学们思考：（1）（na）n的含义是什么？其化简结果是什么呢？（2）nna的含义是什么？其化简结果是什么呢？师：引导学生归纳出结论引导学生自行思考，培养学生观察及归纳的能力。提供一个比较发散的问题，给学生提供广阔的思维空间，培养学生理性思维能力和数学的分析问题、解决问题的能力说明n次方根的性质是平方根和立方根性质的推广，使学生更加容易理解n次方根的性质。（生板演，师组织学生评析）练习的同时检测学生的接受情况并针对出现的问题及时更正。组织学生结合例题及其解答，进行分析讨论、归纳出结论（1）（na）n=a.例如，（327）3=27，（532）5=－32.（2）当n是奇数时，nna=a；当n是偶数时，nna=|a|（六）例题讲解【例1】求下列各式的值：（1）（38）3；（2）2)10(；（3）44)π3(；（4）2)(ba（a＞b）.解：（1）（38）3=－8；（2）2)10(=10；（3）44)π3(=π－3；（4）2)(ba=|a－b|=a－b.生板演，师组织学生进行课堂评价