等差数列前N项和课件

2.3等差数列的前n项和复习回顾1.等差数列的概念2.等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d3.等差中项Ａ＝———a+b2an-an-1=d(n∈N*且n≥2)③②若m+n=p+q则am+an=ap+aqan=am+(n-m)d4.等差数列的性质①2,2mnpmnpaaa若则泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大建筑奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？探究发现等差数列的前n项和德国古代著名数学家高斯10岁的时候很快就解决了这个问题：1＋2＋3＋…＋100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？赶快开动脑筋，想一想！1+2+…+20+21=?问题1:问题2:求和:1+2+3+4+…+n=?记:S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+12(1)Snn2)1(nnS数列前n项和的意义数列｛an｝：a1，a2，a3，…，an，…我们把a1＋a2＋a3＋…＋an叫做数列｛an｝的前n项和，记作Sn这节课我们研究的问题是：(1)已知等差数列｛an｝的首项a1，项数n，第n项an，求前n项和Sn的计算公式；(2)对此公式进行应用。问题3：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，如何求等差数列的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an?解：因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…2)(1nnaanS两式左右分别相加，得倒序相加Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+anSn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a12Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)变式：能否用a1,n,d表示Sn？an=a1+(n-1)ddnnnaSn2)1(1=n(a1+an)两个公式的共同已知量是a1和n,不同的已知量是:公式（1）已知an,公式（2）已知d。已知三个量就可以求出Sn，我们要根据具体题目，灵活采用这两个公式。说明：两个等差数列的求和公式及通项公式，一共涉及到5个量，通常已知其中3个，可求另外2个。n150501a1a3,a101,s;例：在等差数列中，（）已知求11012a3,d,s.2（）已知求解：项和公式，得）根据等差数列前（n1503101S5022600项和公式，得）根据等差数列前（n2101091S103222105公式应用选用公式之公式应用变用公式例2等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少项的和为54？解:设该数列为{an},前n项的和是54,∵a1=－10,d=－6－(－10)=4,解得n=9,n=－3(舍弃).因此等差数列－10,－6,－2,2,…前9项的和是54.整理得n2－6n－27=0.之(1)10454.2nnn例3.已知一个等差数列的前10项和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?解：由于S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式1(1)2nnnSnad可得111045310201901220adad146ad于是，所以2(1)4632nnnSnnn＝例3.已知一个等差数列的前10项和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?1101011010()310622aaSaa①1202012020()12201222aaSaa②201060aa6d14a21132nnnSandnn（）另解：两式相减得课堂小结等差数列前n项和公式2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(1在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.公式的推证用的是倒序相加法练习1.根据条件，求相应等差数列{an}的Sn:①a1=5,an=95,n=10;②a1=100,d=－2,n=50;③a1=14.5,d=0.7,an=32.2.等差数列5,4,3,2,…前多少项的和是－30？答案：①500；②2550；③604.5提示：先化为n2－11n－60=0，得n=15,或n=－4（舍弃）