高等数学(大一)题库

-1-（一）函数、极限、连续一、选择题：1、在区间(-1,0)内，由()所给出的函数是单调上升的。(A);1xy(B);2xxy(C)34xy(D)25xy2、当x时，函数f(x)=xsinx是()（A）无穷大量（B）无穷小量（C）无界函数（D）有界函数3、当x→1时，31)(,11)(xxxxxf都是无穷小，则f(x)是)(x的()（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶无穷小（D）等阶无穷小4、x=0是函数1()arctanfxx的()（A）可去间断点（B）跳跃间断点；（C）振荡间断点（D）无穷间断点5、下列的正确结论是（）（A）)(limxfxx若存在，则f(x)有界；（B）若在0x的某邻域内，有()()(),gxfxhx且),(lim0xgxx),(lim0xhxx都存在，则),(lim0xfxx也存在；（C）若f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a),f(b)0则方程f(x)=0,在(a,b)内有唯一的实根;（D）当x时，xxxxxasin)(,1)(都是无穷小，但()x与)(x却不能比.二、填空题：1、若),1(3xfyZ且xZy1则f(x)的表达式为;2、已知数列nxn1014的极限是4,对于,1011满足nN时，总有4nx成立的最小N应是;3、3214lim1xxaxxbx(b为有限数),则a=,b=;4、设,)(axaxxf则x=a是f(x)的第类间断点;5、,0,;0,)(,sin)(xnxxnxxgxxf且f[g(x)]在R上连续，则n=；三、计算题:-2-1、计算下列各式极限：（1）xxxxsin2cos1lim0；（2）xxxx11ln1lim0；（3）)11(lim220xxx（4）xxxxcos11sinlim30（5）xxx2cos3sinlim0（6）xxxxsincoslnlim02、确定常数a,b，使函数1,11,11,arccos)(2xxxbxxaxf在x=-1处连续.四、证明：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且af(x)b,证明在(a,b)内至少有一点，使()f.（二）导数与微分一、填空题:1、设0()fx存在，则ttxftxft)()(lim000=;2、,1,321,)(32xxxxxf则(1)f;3、设xey2sin,则dy=;4、设),0(sinxxxyx则dxdy;5、y=f(x)为方程xsiny+ye0x确定的隐函数,则(0)f.二、选择题:1、)0(),1ln()(2aaxfx则(0)f的值为()(A)–lna(B)lna(C)aln21(D)212、设曲线21xey与直线1x相交于点P,曲线过点P处的切线方程为()(A)2x-y-2=0(B)2x+y+1=0(C)2x+y-3=0(D)2x-y+3=03、设0),1(0)(2xxbxexfax处处可导，则()(A)a=b=1(B)a=-2,b=-1(C)a=0,b=1(D)a=2,b=1-3-4、若f(x)在点x可微,则xdyyx0lim的值为()(A)1(B)0(C)-1(D)不确定5、设y=f(sinx),f(x)为可导函数，则dy的表达式为()(A)(sin)fxdx(B)(cos)fxdx(C)(sin)cosfxx(D)(sin)cosfxxdx三、计算题：1、设对一切实数x有f(1+x)=2f(x),且(0)0f,求(1)f2、若g(x)=0,00,1cos2xxxx又f(x)在x=0处可导，求0))((xxgfdxd3、求曲线010)1(ytettxy在t=0处的切线方程4、f(x)在x=a处连续,),()sin()(xfaxx求)('a5、设3222()xyyuxx,求.dudy6、设()lnfxxx,求()()nfx.7、计算39.02的近似值.（三）中值定理与导数的应用一、填空题：1、函数f(x)=arctanx在[0,1]上使拉格朗日中值定理结论成立的=;2、若01limsin22axxebx则a=,b=;3、设f(x)有连续导数，且(0)(0)1ff则)(ln)0()(sinlim0xffxfx=;4、xeyxsin的极大值为，极小值为;5、)10(11xxxarctgy的最大值为，最小值为.二、选择题：1、如果a,b是方程f(x)=0的两个根，函数f(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件，那么方程f’(x)=0在(a,b)内（）（A）仅有一个根；（B）至少有一个根；（C）没有根；（D）以上结论都不对。2、函数xxfsin)(在区间[-]2,2上（）（A）满足罗尔定理的条件，且;0（B）满足罗尔定理的条件，但无法求;-4-（C）不满足罗尔定理的条件，但有能满足该定理的结论；（D）不满足罗尔定理的条件3、如果一个连续函数在闭区间上既有极大值，又有极小值，则（）（A）极大值一定是最大值；（B）极小值一定是最小值；（C）极大值一定比极小值大；（D）极在值不一定是最大值，极小值不一定是最小值。4、设f(x)在(a,b)内可导，则()0fx是f(x)在(a,b)内为减函数的（）（A）充分条件；（B）必要条件；（C）充要条件；（D）既非充分又非必要条件。5、若f(x)在(a,b)上两次可导，且（）,则f(x)在(a,b)内单调增加且是上凹的。（A）0)(,0)('xfxf；（B）;0)(,0)('xfxf；（C）0)(,0)('xfxf；（D）0)(,0)('xfxf三、计算题：1、求:22011(1)lim()sinxxxtan0(2)limxxx2、求过曲线y=xex上的极大值点和拐点的连线的中点，并垂直于直线x=0的直线方程.四、应用题：1、通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现接受能力（即学生掌握一个概念的能力）依赖于在概念引人之前老师提出和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，分析结果表明，学生掌握概念的能力由下式给出：2()0.12.643Gxxx,其中G（x）是接受能力的一种度量，x是提出概念所用的时间（单位：min）（a）、x是何值时，学生接受能力增强或降低？（b）、第10分钟时，学生的兴趣是增长还是注意力下降？（c）、最难的概念应该在何时讲授？（d）、一个概念需要55的接受能力，它适于对这组学生讲授吗？五、证明题：证明不等式22arctanln(1)xxx（四）不定积分一、选择题：1、设)(xf可微，则()fx（）（A）))(xdf（B）))((dxxfd（C）)')((dxxf（D）dxxf)('2、若F（x）是)(xf的一个原函数，则cF（x）（）)(xf的原函数（A）是（B）不是（C）不一定是3、若,)()(cxFdxxf则dxbaxf)(（）（A）cbaxaF)(（B）cbaxFa)(1-5-（C）cxFa)(1（D）cxaF)(4、设)(xf在[a，b]上连续，则在（a，b）内)(xf必有（）（A）导函数（B）原函数（C）极值（D）最大值或最大值5、下列函数对中是同一函数的原函数的有（）2211()sincos24与Axx2()lnlnln与Bxx22()与xxCee1()tancot2sin与xDxx6、在积分曲线族xdxy3sin中，过点)1,6(的曲线方程是（）cxDxCcxBxA3cos)(3cos31)(3cos31)(13cos31)(7、下列积分能用初等函数表出的是（）（A）2xedx；（B）31dxx；（C）lndxx；（D）lnxdxx.8、已知一个函数的导数为2yx，且x=1时y=2,这个函数是（）（A）2;yxC（B）21;yx（C）2;2xyC（D）1.yx9、2lnxdxx（）（A）11lnxCxx;（B）11lnxCxx;（C）11lnxCxx；（D）11lnxCxx.10、10(41)dxx（）（A）9119(41)Cx；（B）91136(41)Cx；（C）91136(41)Cx；（D）111136(41)Cx.二、计算题:1、dxxx)1ln(22、1tan1tanxdxx3、dxxxf)(3、)3)(2)(1(xxxdx5、xdx6、)1(xxdx7、2arccosxxdx-6-三、求,)(dxxf其中xxxxxxf121010,1)(（五）定积分及其应用一、填空题：1、设)(xf是连续函数，dttxfxFx)()(0，则F'(x)=;2、设)(xf是连续函数，则dxxfxfxfxf)]()()][()([；3、111lim()12nnnnn；4、设)(xf是连续函数，f(0)=-1,则3sin0)(limxdttfxxx；5、函数)(xf=xe在区间[a，b]上的平均值为)(ba.二、单项选择题：1、设babadxxf)(,)(存在，则)(xf在[a，b]上()(A)可导(B)连续(C)具有最大值和最小值(D)有界2、设)(xf是以T为周期的连续函数，则ntaandxxfn)(1lim()（A）Taf)(（B）dxxfT)(0（C）adxxf0)(（D）()fa3、设dxxfdxxfdxddxxfdxdI)(')()(43存在，则I=()(A)()fx(B)2()fx(C)2()fxC(D)04、)()(baaxdxpba,在()（A）P1时收敛,P≥1时发散（B）P≤1时收敛,P≥1时发散（C）P1时收敛,P≤1时发散（D）P≥1时收敛,P1时发散5、曲线)0(ln,ln,,lnbabyayyxy及y轴所围的图形面积为()(A)baxdxlnlnln(B)dxexeeba(C)dxeybalnln(D)xdxabeeln三、计算下列定积分:1、2511xdx2、dxexx1sin2443、102)1ln(dxxx4、axaxdx022-7-四、求下列极限:1、sin0tan00tanlimsinxxxtdttdt2、dtttdttxtxxsin)1(lim01sin00五、设可导函数y=y（x）由方程yxtxtdtdte00221sin2所决定，试讨论函数y=y（x）的极值.六、已知抛物线)0,4(,)4(22apaypx，求p和a的值，使得：（1）抛物线与y=x+1相切；（2）抛物线与0x轴围成的图形绕0x轴旋转有最大的体积.（六）向量代数空间解析几何一、填空题：1、向量1,2,1a与x，y，z轴的夹角分别为,,，则，，。2、设1,2,1,1,1,0ab，则ab=，ab=，cos=，sin=。3、以点(1,3,2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为。4、平面通过点（5，-7，4）且在x，y，z三轴上截距相等，则平面方程为。5、把曲线25,0zxy绕x轴旋转一周，则旋转曲面的方程为。二、选择题：1、平面11110AxByCzD与22220AxByCzD互相平行，则（）。（A）充要条件是1212120AABBCC（B）充要条件是111222ABCABC（C）必要而不充分条件是111222ABCABC（D）必要而不充分条件是1212120AABBCC2、设a与b为非零向量，则abo是（）（A）a∥b的充要