初一数学分类讨论思想例题分析及练习

十堰教育联盟网|【例1】解方程：|x-1|=2　　分析：绝对值为2的数有2个　　解：x-1=2或x-1=-2,则x=3或x=-1　　说明应该说，绝对值问题是我们在上学期最初见过的“难题”。其实归根究底，一般考察绝对值的问题有三。1.化简(如当a0b时，化简|a-1|+|b+1|+|a-b|)　　处理方法：根据绝对值符号内的式子的正负性2.类似于“解方程”(如本题)　　处理方法：注意解往往不只一个，需关注绝对值为正数的数有两个。　　3.使用绝对值的几何意义解题(如已知|x-1|2，求x的取值范围)　　处理方法：画数轴，|x-1|2表示数轴上到表示1的点的距离小于2的点。　　【例2】试比较1+a与1-a的大小。　　分析：常规的比较大小的方法有很多种，现阶段最常用的是作差法。两个数量的大小可以通过它们的差来判断：　　①ab即a-b0②a=b即a-b=0③ab即a-b0　　解：作差(1+a)-(1-a)=2a　　分类讨论：　　①当a0时，2a0，即(1+a)-(1-a)0，即1+a1-a　　②当a=0时，2a=0，即(1+a)-(1-a)=0，即1+a=1-a　　③当a0时，2a0，即(1+a)-(1-a)0，即1+a1-a答：当a0时，1+a1-a；当a=0时，1+a=1-a；当a0时，1+a1-a。【例3】已知线段AB长度为6cm，点C在直线AB上，且AC=2cm，求BC的长度。　　分析：注意点C的位置不能确定。在直线上，与一个定点的距离为定值的点有两个。　　处理方法：画一个示意图，往往能帮助理解。　　解：如示意图，有两种情况。　　如图1，点C在AB之间时，BC=AB-AC=6cm-2cm=4cm　　如图2，点C在BA的延长线上时，BC=AB+AC=6cm+2cm=8cm　　【例4】一张桌子有四个角，砍掉一只角后，还剩几个角？解：5个或4个或3个。十堰教育联盟网|　　①当AB=2BC时，BC=0.5x　　据题意，列x+x+0.5x=20，解得x=8cm，则BC=0.5x=4cm　　②当BC=2AB时，BC=2x　　据题意，列x+x+2x=20，解得x=5cm，则BC=2x=10cm　　检验：当AB=2BC时，三边长为8cm，8cm，4cm，可组成三角形；　　当BC=2AB时，三边长为5cm，5cm，10cm，不可组成三角形，舍。　　答：BC长为4cm。　　【例6】富城书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元，但不超过200元，一律打九折；③一次性购书超过200元，一律打八折。如果小明一次性购书付款162元，那么小明所购书的价格为多少。解：付款162元，由于162＞100，可确定享受了优惠。因不确定是打九折还是打八折，所以分类。①∵200×=180＞162，∴162元可能享受了九折优惠，162÷=180（元）；109109②∵200×=160＜162，∴162元可能享受了八折优惠，162÷=202.5（元）108108答：小明所购书的价格为180元或202.5元。　【例7】三人分糖，每人都得整数块，乙比丙多得13块，甲所得的糖果数是乙的2倍，已知糖果总数是一个小于50的质数，且它的各位数字之和为11，试求甲、乙、丙各分得几块糖？　　分析：　1.两个限制条件：整数、质数　　2.一个常见说法：乙比丙多得13块，甲所得的糖果数是乙的2倍　　3.一个常见不等式列法：糖果总数是小于50　　解：设丙获得了x块粮果，则乙的糖果数为(x+13)块，甲的糖果数为2(x+13)，根据题意，可列不等式2(x+13)+(x+13)+x50　　整理这个不等式，解得x11/4=2.75　　由于糖果块数必为正整数，所以x=1或2　　①当x=1时，x+13=14，2(x+13)=28总块数1+14+28=43，为质数，但4+3=7≠11，则x=1应舍去；　　②当x=2时，x+13=15，2(x+13)=30总块数2+15+30=47，为质数4+7=11，合题意。　　答：甲分得糖果数为30块，乙分得15块，丙分得2块。【例5】已知△ABC周长为20cm，AB=AC，其中一边边长是另一边边长的2倍，BC长多少？　　解：设AB=AC=x