§1.4密勒指数

1§1.4密勒指数一、阿羽依有理指数定律的意义1.阿羽依有理指数定律任何一个晶面其在三个轴a1、a2、a3上的截距r、s、t必是一组有理数。a1轴：r=1a1;a2轴：s=3a2;a3轴：t=2a3。如果用天然的长度为单位(即在a1、a2、a3轴上的长度单位分别为a1、a2、a3)。则有：r=1、s=3、t=4。是一组有理数。1a2a3a2二、晶列、晶面、晶向1.晶列对于布拉菲格子，通过任何两个格点的直线上，包含无限个相同的格点，如图所示，这样的直线族称为晶列。342.晶面通过格点所作的平面称为晶面。通过另外的格点可以作和该晶面平行的晶面。该族晶面包括了所有的格点，并且晶面之间是等间距的。3.晶向对于一族平行的晶列，其方向是相同的，晶列的取向称为晶向。对于晶面族，其晶面的取向也称为晶向。晶列方向和晶面方向的标定是不一样的。5678三、晶列方向的标定1.固体物理学原胞中晶列方向的标定用格矢量标定晶列方向。332211alalalOARl其中l1、l2、l3是整数，如果是互质的，可直接用其表示晶列OA的方向。这样三个互质的整数称为晶列指数，记为：[l1,l2,l3]。OlR9OARBRCR101233ARaaa晶向指数[311]111223ARaa晶向指数[230]122.晶胞中晶列方向的标定对于晶胞，由于格点可以在体心或面心上，某一格点的位矢或格矢量：cpbnamRl其中不一定是整数，但是有理数，可以同乘以一个因子，化成互质整数。用m、n、p表示。记为[m,n,p]。pnm、、3.例题简立方(sc)、体心立方(bcc)晶胞中晶列方向的标定。(1)简立方13aRA11000,0,101或，pnm①晶轴②面对角线BR1100,1,101111或，，pnmbaRB③空间对角线1111,1,1111111或，，pnmcbaRCCROcabAR14(2)体心立方①晶轴aRA11000,0,101或，pnm②面对角线BR1100,1,101111或，，pnmbaRB③空间对角线1111,1,1111212121212121或，，，，pnmpnmcbaRCCROcabAR151617OrstABCABC四、晶面方向的标定1.原胞中晶面方向的标定(1)晶面方向余弦的标定n；、、基矢：321aaa;dABC面间距：；晶面族：；、、截距：321tasara;n晶面法向单位矢量：X处的矢量：上任一点晶面xABC；；；321atOCasOBarOAXox1a2a3a处的晶面数目：点到晶面ABCOXx18可得：，dnXdnatadnasadnara)cos()cos()cos(332211取a1、a2、a3为沿三个轴的天然的长度单位，可得：tsrnanana1:1:1)cos(:)cos(:)cos(321OrstABCABCn1a2a3aXxdnOAdnasdnOB；2；dnatdnOC3dnar；119(2)面指数(h1h2h3)方向余弦可以表示晶面族ABC的方向，因此，比值：)cos()cos()cos(321nanana、、tsr1:1:1也可以表示晶面族ABC的方向。阿羽依有理指数定律(r、s、t必是有理数)表明，该比值可以同乘以某一因子，化为三个互质的整数。用h1、h2、h3表示,称为面指数。记为(h1h2h3)。20(3)阿羽依有理指数定律证明因为一族晶面必须包含所有的格点，所以三个基矢的末端(分别是格点)也必须落在晶面上(可以是不同的晶面)。设三个基矢分别落在距离原点为h1d、h2d、h3d的晶面上，h1、h2、h3是整数。ABCABC1a2a3aOABCABC21可得：，dnX取a1、a2、a3为沿三个轴的天然的长度单位:dhnadhnadhna332211321321::)cos(:)cos(:)cos(hhhnanana321::1:1:1hhhtsr即：所以，r、s、t是一组有理数。tsrnanana1:1:1)cos(:)cos(:)cos(321dhnaadhnaadhnaa333222111)cos()cos()cos(22ABCABC1a2a3aOABCABC(4)面指数(h1h2h3)的物理意义平行的晶面族把基矢分别截成个h1、h2、h3个相等的小段，最靠近原点的晶面321aaa、、322211hahaha、、321aaa、、在基矢轴上的截距分别为:同族的其它晶面的截距为()的整数倍。如果a1、a2、a3取天然的长度单位，则h1、h2、h3的倒数就是晶面族(h1h2h3)中最靠近原点晶面在三个轴上的截距。322211hahaha、、23对于同一族晶面不论以哪一个晶面为主来标定，最后的结果都是一样的。。，，倒数：，，，面：；，，倒数：，，，面：；倒数：，，，面：12313231123312323121321212331211tsrCBAtsrCBAtsrCBA(5)面指数(h1h2h3)的标定把晶面在三个坐标轴上的截距的倒数化成互质的整数。ABCABC1a2a3aOABCABC242.晶胞中晶面方向的标定(1)密勒指数——把晶面在三个坐标轴上的截距的倒数化成互质的整数即可。该指数称为密勒指数，用(hkl)表示，它们也是互质的整数。(2)密勒指数的物理意义①晶轴指数特别简单。。空间对角线：。、、面对角线：。轴：；轴：；轴：111011101110001010100cbacabO25②密勒指数简单的面是重要的晶面。例如(100)、(010)、(001)晶面。③密勒指数愈简单的晶面，愈容易解理。cabO(010)(001)对于一定的晶格，原胞的体积是一定的，如果面间距愈大,那么，晶面的面积就愈小，面密度随之增大。而面密度愈大,需要维持晶面不脱离晶体所需要的能量就愈大，即晶面容易解理。26(3)指数标定应注意的问题①若晶面与晶轴平行，则截距为∞，则指数为0。②若晶面通过原点，截距为0，可以选择与之平行的晶面，进行标定。③若截距为负数，例如:(-1,0,0)，应表示为：001JcabCBDAHGFELMI晶面IJLM：截距：-1，∞，∞倒数：-1，0，0指数：00127立方晶格的几种主要晶面标记28(100)面等效的晶面数分别为：3个。表示为｛100｝。符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才有意义,在晶体内部这些面都是等效的(110)面等效的晶面数分别为：6个。表示为｛110｝。(111)面等效的晶面数分别为：4个。表示为｛111｝。291332211mmkhmkhmkh，，，332211alalalRl在最靠近原点的晶面上任取一格矢量：n为晶面族法向单位矢量。3.例题，三个基矢的末端分别落在离原点距离为h1d、h2d、h3d的晶面上，h1、h2、h3是整数，试证明(h1h2h3)是互质的整数。321aaa、、dnRl采用反证法。假设h1、h2、h3不是互质的，则有30mklklkldklklklmdddhldhldhldnalnalnalnalalal1)(332211332211332211332211332211dnRl11010332211332211mklklklklklkl或mklklkl1332211所以，(h1h2h3)是互质的整数。