中考专题复习----反比例函数详解

中考复习反比例函数详解反比例函数是初中阶段函数的一种重要类型，对反比例函数的考查是各地中考命题热点之一，本文以部分省市中考试题中的反比例函数试题为例，加以归类分析，供读者参考。一、反比例函数的图象和性质【例1】(台州市)反比例函数xy6图象上有三个点)(11yx，，)(22yx，，)(33yx，，其中3210xxx，则1y，2y，3y的大小关系是()A．321yyyB．312yyyC．213yyyD．123yyy【解析】该题有三种解法：解法①，画出xy6的图象，然后在图象上按3210xxx要求描出三个已知点，便可得到321,,yyy的大小关系;解法②,特殊值法，将三个已知点（自变量x选特殊值）代入解析式，计算后可得到321,0,,yyy的大小关系；解法③，根据反比例函数的性质，可知y1，y2都小于0，而y3＞0，且在每个象限内，y值随x值的增大而减小，而x1＜x2，∴y2＜y1＜0。故312yyy，故选B。【思路感悟】解决此类问题，一方面应当熟悉反比例函数的性质，同时必须能够熟练的画出双曲线，利用数形结合的思想解决问题。【迁移训练】（哈尔滨市）反比例函数y＝x3-k的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（）．（A）k＜3（B）k≤3（C）k＞3（D）k≥3二、用待定系数法确定反比例函数的解析式【例2】（兰州市）如图1，P1是反比例函数)0(kxky在第一象限图象上的一点，A1的坐标为(2，0)．（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将如何变化？（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A2点的坐标．【解析】（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的高逐渐降低，但它的底不变，∴△P1OA1的面积将逐渐减小．图1DBAyxOC（2）求反比例函数的解析式，需先求出P1点的坐标，作P1C⊥OA1，易得P13,1．再用待定系数法确定反比例函数的解析式为xy3．由于A2点的横、纵坐标都不知道，可作P2D⊥A1A2，设A1D=a，则OD=2+a，P2D=3a，所以P2aa3,2．代入xy3中得a=-1±2，∵a＞0∴21a所以点A2的坐标为﹙22，0﹚【思路感悟】利用待定系数法求反比例函数解析式，只需要确定图象上一个点的坐标，将其横、纵坐标，代入xky中，即可相应的求出k的值，从而确定反比例函数的解析式。【迁移训练】（郴州市）已知：如图2，双曲线y=kx的图象经过A（1，2）、B（2，b）两点.（1）求双曲线的解析式；（2）试比较b与2的大小.三、反比例函数中的面积问题【例3】（眉山市）如图3，已知双曲线(0)kykx经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（6，4），则△AOC的面积为（）A．12B．9C．6D．4【解析】由A（-6,4），可得△ABO的面积为124621，同时由于D为OA的中点，所以D（-3,2），可得反比例函数解析式为xy6，设C（a，b），则ab6，∴ab=-6，则BO×BC=6，∴△CBO的面积为3，所以△AOC的面积为12-3=9【思路感悟】过双曲线xky上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积均为k，相应对角线所分成的两个三角形的面积均为2k。图3图2B(2,b)A(1,2)yxOy=kx图4【迁移训练】（泉州南安市）如图4，已知点A在双曲线y=6x上，且OA=4，过A作AC⊥x轴于C，OA的垂直平分线交OC于B．（1）则△AOC的面积=，（2）△ABC的周长为四、反比例函数的综合应用与探究【例4】（成都市）如图5，已知反比例函数kyx与一次函数yxb的图象在第一象限相交于点(1,4)Ak．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．解：（1）将点(1,4)Ak代入反比例函数kyx，得2k，∴A(1，2)，再将A(1，2)代入一次函数yxb得1b，易得两解析式y=x+1和xy2。（2）将y=x+1和xy2组成方程组，可求点B的坐标为(21)，。观察图象可得2x或01x。【思路感悟】比较两个函数的大小，也就是看函数图象的高低，找好关键点（即交点）。【例5】（济宁市)如图6，正比例函数12yx的图象与反比例函数kyx(0)k在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PAPB最小.【解析】：（1）由于OAM的面积为1，易得2k.∴解析式为2yx.(2)先将12yx、2yx组成方程组，求出A（2，1）.再求出B（1,2）。使PAPB最小，则需要作A点关于x轴的对称点C，则C点的坐标为（2，1）.利用待定系数法可求BC的解析式为35yx。点P在x轴上，当0y时，OMxyA图6图553x.∴P点为（53，0）.【思路感悟】在解决函数与几何综合题目时，不仅需要清楚函数知识，而且还需要掌握好几何知识，画出图形，利用数形结合的思想解题。【迁移训练】（河北省）如图7，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；（2）若反比例函数xmy（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；（3）若反比例函数xmy（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接．．写出m的取值范围．【迁移训练答案】xMNyDABCEO图71.A；2.（1）双曲线的解析式为2yx=（2）b2；3.（1）3（2）72；4.（1）DE的解析式为321xy、M（2,2）（2）反比例函数的解析式为xy4、点N在该函数的图象上（3）4≤m≤8．