中考专题复习——反比例函数知识点+历年真题精析[1]

中考复习之——反比例函数反比例函数是函数的一种重要类型，对反比例函数的考查是各地中考命题热点之一。本文以历年部分省市中考试题中的反比例函数试题为例，加以归类分析。一、反比例函数的图象和性质【例1】(台州市)反比例函数xy6图象上有三个点)(11yx，，)(22yx，，)(33yx，，其中3210xxx，则1y，2y，3y的大小关系是()A．321yyyB．312yyyC．213yyyD．123yyy【解析】该题有三种解法：解法①，画出xy6的图象，然后在图象上按3210xxx要求描出三个已知点，便可得到321,,yyy的大小关系;解法②,特殊值法，将三个已知点（自变量x选特殊值）代入解析式，计算后可得到321,0,,yyy的大小关系；解法③，根据反比例函数的性质，可知y1，y2都小于0，而y3＞0，且在每个象限内，y值随x值的增大而减小，而x1＜x2，∴y2＜y1＜0。故312yyy，故选B。【思路感悟】解决此类问题，一方面应当熟悉反比例函数的性质，同时必须能够熟练的画出双曲线，利用数形结合的思想解决问题。【迁移训练】（哈尔滨市）反比例函数y＝x3-k的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（）．（A）k＜3（B）k≤3（C）k＞3（D）k≥3二、用待定系数法确定反比例函数的解析式【例2】（兰州市）如图1，P1是反比例函数)0(kxky在第一象限图象上的一点，A1的坐标为(2，0)．（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将如何变化？（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A2点的坐标．【解析】（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的高逐渐降低，但它的底不变，∴△P1OA1的面积将逐渐减小．图1DBAyxOC（2）求反比例函数的解析式，需先求出P1点的坐标，作P1C⊥OA1，易得P13,1．再用待定系数法确定反比例函数的解析式为xy3．由于A2点的横、纵坐标都不知道，可作P2D⊥A1A2，设A1D=a，则OD=2+a，P2D=3a，所以P2aa3,2．代入xy3中得a=-1±2，∵a＞0∴21a所以点A2的坐标为﹙22，0﹚【思路感悟】利用待定系数法求反比例函数解析式，只需要确定图象上一个点的坐标，将其横、纵坐标，代入xky中，即可相应的求出k的值，从而确定反比例函数的解析式。【迁移训练】（郴州市）已知：如图2，双曲线y=kx的图象经过A（1，2）、B（2，b）两点.（1）求双曲线的解析式；（2）试比较b与2的大小.三、反比例函数中的面积问题【例3】（眉山市）如图3，已知双曲线(0)kykx经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（6，4），则△AOC的面积为（）A．12B．9C．6D．4【解析】由A（-6,4），可得△ABO的面积为124621，同时由于D为OA的中点，所以D（-3,2），可得反比例函数解析式为xy6，设C（a，b），则ab6，∴ab=-6，则BO×BC=6，∴△CBO的面积为3，所以△AOC的面积为12-3=9【思路感悟】过双曲线xky上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积均为k，相应对角线所分成的两个三角形的面积均为2k。图3图2B(2,b)A(1,2)yxOy=kx图4【迁移训练】（泉州南安市）如图4，已知点A在双曲线y=6x上，且OA=4，过A作AC⊥x轴于C，OA的垂直平分线交OC于B．（1）则△AOC的面积=，（2）△ABC的周长为四、反比例函数的综合应用与探究【例4】（成都市）如图5，已知反比例函数kyx与一次函数yxb的图象在第一象限相交于点(1,4)Ak．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．解：（1）将点(1,4)Ak代入反比例函数kyx，得2k，∴A(1，2)，再将A(1，2)代入一次函数yxb得1b，易得两解析式y=x+1和xy2。（2）将y=x+1和xy2组成方程组，可求点B的坐标为(21)，。观察图象可得2x或01x。【思路感悟】比较两个函数的大小，也就是看函数图象的高低，找好关键点（即交点）。【例5】（济宁市)如图6，正比例函数12yx的图象与反比例函数kyx(0)k在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PAPB最小.【解析】：（1）由于OAM的面积为1，易得2k.∴解析式为2yx.(2)先将12yx、2yx组成方程组，求出A（2，1）.再求出B（1,2）。使PAPB最小，则需要作A点关于x轴的对称点C，则C点的坐标为（2，1）.利用待定系数法可求BC的解析式为35yx。点P在x轴上，当0y时，OMxyA图6图553x.∴P点为（53，0）.【思路感悟】在解决函数与几何综合题目时，不仅需要清楚函数知识，而且还需要掌握好几何知识，画出图形，利用数形结合的思想解题。【迁移训练】（河北省）如图7，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；（2）若反比例函数xmy（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；（3）若反比例函数xmy（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接．．写出m的取值范围．【迁移训练答案】xMNyDABCEO图71.A；2.（1）双曲线的解析式为2yx=（2）b2；3.（1）3（2）72；4.（1）DE的解析式为321xy、M（2,2）（2）反比例函数的解析式为xy4、点N在该函数的图象上（3）4≤m≤8．