中南大学2011-2012学年二学期线性代数A

一、填空题（本题15分，每小题3分）1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为_____________.2、若A为4阶矩阵，且A=21，则*12)3(AA=____________________.3、设A=kkkk111111111111，且R（A）=3，则k=______________________.4、已知向量,=（1,2,3），=（1，31,21，），设A=T，则An=_________.5、设A为n阶方阵，AA,0为A的伴随矩阵，E为n阶单位阵，若A有特征值EA2,）则（必有特征值_________________________________________.二、选择题（本题15分，每题3分）1、设A，B,C为n阶方阵，E为n阶单位阵，且ABC=E，则下列各式中（）不成立。（A）CAB=E(B)ECAB111(C)BCA=E(D)EBAC1112、设A,B均为n阶非零矩阵，且AB=O，则它们的秩满足（）。（A）必有一个等于零（B）都小于n(C)一个小于n，一个等于n（D）都等于n3、下列命题中正确的是（）（A）在线性相关的向量组中，去掉若干个向量后所得向量组仍然线性相关（B）在线性无关的向量组中，去掉每个向量的最后若干分量后仍然线性无关（C）任何n+k个n维向量（k1）必然线性相关（D）若只有mkkk,,21全为零时，等式01111mmmmkkkk才成立，且m21,线性无关，则m21,线性无关得分分评卷人4、设T)1,2,1(1，,)1,1,1(2T则3=（）时，有321,,为3R的基（A）T)2,1,2(（B）T)1,0,1(（C）T)0,1,0(（D）T)1,0,0(5、设二次型的矩阵为kA20211012，且此二次型的正惯性指数为3，则（）（A）k8(B)k7(C)k6(D)k5三、（10分）计算n阶行列式111111111111nD并求该行列式展开后的正项总数。四、（10分）设EAX=XA2,且101020101A，求矩阵)(1XX及，其中11)(XX为的伴随矩阵，E为单位矩阵。五、（本题14分）设有向量组02311，314072，10123，26154，（1）求该向量组的秩；（2）求该向量组的一个最大无关组，并把其余向量分别用求得的最大无关组线性表出。六、（本题14分）设向量)1,1,1(，（1）求3阶方阵TA的特征值与特征向量；（2）求一正交矩阵AQQQT使,为对角矩阵。七、（本题14分）设矩阵22222112121cbaA，（1）问是正交矩阵为何值时Acba,,；（2）当A是正交矩阵时，求方程组111AX的解。八、（本题8分）证明：n21，，，维列向量组n线性无关的充要条件是nTnTnTnnTTTnTTTD2122212121110其中niiTi,,2,1的转置，表示向量。