中考数学专题17三角形与全等三角形

学科教师辅导讲义年级：辅导科目：数学课时数：3课题三角形与全等三角形教学目的教学内容一、【中考要求】了解三角形的有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性，探索并掌握三角形中位线的性质，了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件。二、【三年中考】1．(2009·温州)下列长度的三条线段能组成三角形的是()A．1cm，2cm，3.5cmB．4cm，5cm，9cmC．5cm，8cm，15cmD．6cm，8cm，9cm解析：计算较小两数的和与最大数比较，大于的组成三角形，否则不能．答案：D2．(2008·嘉兴)如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，CA＝4，DE是中位线，则DE＝()A．4B．3C．2D．1解析：考查“三角形的中位线等于第三边的一半”，DE＝12BC＝12×6＝3.答案：B3．(2010·宁波)《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着严密理论系统和科学方法的学科，它奠定了现代数学的基础．它是下列哪位数学家的著作()A．欧几里得B．杨辉C．费马D．刘徽解析：《几何原本》是欧几里得的著作．答案：A4．(2008·金华)如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O，AB＝DC，AC＝BD.(1)求证：△ABC≌△DCB；(2)△OBC的形状是________．(直接写出结论，不需证明)解：(1)证明：在△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SSS)．(2)等腰三角形5．(2010·金华)如图，在△ABC中，D是BC边上的点(不与B，C重合)，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF(不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．(1)你添加的条件是：_________________________________；(2)证明：解：(1)BD＝DC，FD＝ED，CF＝BE，点D为线段BC的中点中任选一个即可．(2)以BD＝DC为例进行证明：∵CF∥BE，∴∠FCD＝∠EBD.又∵BD＝DC，∠FDC＝∠EDB，∴△BDE≌△CDF.三、【考点知识梳理】（一）三角形的概念与分类1．由三条线段首尾顺次连接所围成的平面图形，叫做三角形．2．三角形按边可分为：不等边三角形和等腰三角形；按角可分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．（二）三角形的性质1．三角形的内角和是180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．2．三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．3．三角形中的重要线段(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．(2)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．(3)高：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心．(4)三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点距离相等．(5)中位线：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半．温馨提示：三角形的边、角之间的关系是三角形中重要的性质，在比较角的大小、线段的长短及求角或线段中经常用到。学习时应结合图形，做到熟练、准确地应用。三角形的角平分线、高、中线均为线段。（三）全等三角形的概念与性质1．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角分别相等；(2)全等三角形的对应线段(包括角平分线、中线、高)相等、周长相等、面积相等．（四）全等三角形的判定1．一般三角形全等的判定(1)如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“SSS”；(2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“SAS”；(3)如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“ASA”；(4)如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“AAS”．2．直角三角形全等的判定(1)两直角边对应相等的两直角三角形全等；(2)一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等；(3)如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为“HL”．3．证明三角形全等的思路(1)已知两边找夹角找直角找另一边(2)已知一边一角边为角的对边时，找另一角边为角的邻边时找夹角的另一边找夹边的另一角找边的对角(3)已知两角找夹边找任意一边温馨提示：（1）判定三角形全等必须有一组对应边相等；（2）判定三角形全等时不能错用“SSA”，“AAA”（五）定义、命题、定理、公理有关概念(1)定义是能明确指出概念含义或特征的句子，它必须严密．(2)命题：判断一件事情的语句．①命题由题设和结论两部分组成．②命题的真假：正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．③互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题．(3)定理：经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题，所以不是所有的定理都有逆定理．(4)公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫公理．温馨提示：对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题。（六）证明1．证明：根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这一推理过程称为证明．2．证明的一般步骤：①审题，找出命题的题设和结论；②由题意画出图形，具有一般性；③用数学语言写出已知、求证；④分析证明的思路；⑤写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密．温馨提示：命题证明应根据证明的步骤一步步进行；图形证明需要分析好已知条件，无需再画图重新写已知、求证，用学过的知识经过严密的推理，推导出结论。四、【中考典例精析】类型一三角形的有关知识(1)下列长度的三条线段能组成三角形的是()A．1、2、3.5B．4、5、9C．20、15、8D．5、15、8(2)在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC＝5，则DE的长是()A．2.5B．5C．10D．15(3)如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A等于()A．60°B．70°C．80°D．90°【点拨】本题主要考查三角形的有关概念和性质．(1)判断三条线段是否组成三角形，其简便方法是将较短两边之和与最长边比较；(2)考查三角形中位线定理．数形结合法，DE＝12BC＝12×5＝2.5；(3)考查三角形的外角定理．∵∠ACD＝∠A＋∠B，∴∠A＝∠ACD－∠B＝120°－40°＝80°.【答案】(1)C(2)A(3)C方法总结：（1）考查三角形的边或角时，一定要注意三角形形成的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（2）在求三角形内角和外角时，要明确所求的角属于哪个三角形的内角和外角，要抓住题目中的等量关系；类型二全等三角形(1)如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是_________________________.(2)如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，AC∥DF，BF＝CE.求证：AC＝DF.(3)已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明．【点拨】(1)题为开放型试题，要求考虑问题要准确、全面；(2)题考查三角形的全等判定及性质的综合应用．明确已知条件是边还是角，包含在哪个三角形中是关键；(3)当判断一个命题是否为假命题时，只要举一个例子符合命题的条件，但不符合命题的结论，该命题就是假命题．【解答】(1)答案不唯一，如∠C＝∠E或AD＝BF等(2)证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF.∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE.∵BF＝EC，∴BC＝EF.∴△ABC≌△DEF(ASA)，∴AC＝DF.(3)这个命题是假命题．以下任一方法均可：①添加条件：AC＝DF.证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE.在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠FDE，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF(SAS)．②添加条件：∠CBA＝∠E.证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE.在△ABC和△DEF中，∠A＝∠FDE，AB＝DE，∠CBA＝∠E，∴△ABC≌△DEF(ASA)．③添加条件：∠C＝∠F.证明：∵AD＝BE，∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE.在△ABC和△DEF中，∠A＝∠FDE，∠C＝∠F，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF(AAS)方法总结：（1）判定两个三角形全等时，常用下面的思路：①有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；②有两边对应相等时找家教或另一边对应相等。（2）结论不唯一的开放型试题，是近几年中考试题中的热点题型，主要考察对一些知识点掌握的熟练性、系统性。这类题型要注意多琢磨、多领悟。五、【易错题探究】如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD＝CE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)若∠D＝50°，求∠B的度数．【解析】(1)证明：∵C是线段AB的中点，∴AC＝BC.∵CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.又∵CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)．(2)∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3.∴∠3＝60°.由△ACD≌△BCE，得∠D＝∠E.∵∠D＝50°，∴∠E＝50°.即∠B＝180°－∠E－∠3＝180°－50°－60°＝70°.【易错警示】对全等三角形的判定方法理解不透彻、对应关系混淆．六、【课堂基础检测】1．下列长度的三条线段能组成三角形的是()A．1cm，2cm，3.5cmB．4cm，5cm，9cmC．5cm，8cm，15cmD．6cm，8cm，9cm答案：D2．如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠B＝23°，∠A的度数是()A．61°B．60°C．37°D．39°答案：C3．如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于()A．100°B．120°C．130°D．150°答案：C4．如图，D、E分别为△ABC的边AC、BC的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE＝48°，则∠APD等于()A．42°B．48°C．52°D．58°答案：B5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB.求证：BD＝CE.证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°.在△ABD和△ACE中，∠A＝∠A，∠ADB＝∠AEC，AB＝AC，∴△ABD≌△ACE(AAS)．∴BD＝CE.七、【课后达标练习】一、选择题1．如图，D、E分别是△ABC的边AC和BC的中点，已知DE＝2，则AB＝()A．1B．2C．3D．4解析：由三角形中位线定理得AB＝2DE＝2×2＝4.答案：D2．一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形解析：由三角形内角和定理得最大角为：180°×712＝105°∴为钝角三角形．答案：D3．如果三角形的两边长分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是()A．15B．16C．8D．7解析：由三角形三边关系得2第三边8，∴10周长16.答案：A4．如图，为估计池塘岸边A、B的距离，